Usullari Reja: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli

4-ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss va Kramer
usullari
Reja:
1.Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli
2.Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli
Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemalari.
Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑐1
{ 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑐2 (1)
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑐3
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini
topishda noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni tenglab birinchi tenglamadan
ikkinchisini ayirish natijasida bitta noma’lumli tenglama hosil qilinib undan
noma’lumning qiymati topilgan edi. Xuddi shu ishni (1) sistemaga tatbiq etsak,
natijada (1) sistemaga ekvivalent quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz:
𝑥1 ∙ ∆= ∆𝑥1
{ 𝑥2 ∙ ∆= ∆𝑥2 (A)
𝑥3 ∙ ∆= ∆𝑥3
Bunda
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑐1 𝑎12 𝑎13 𝑎11 𝑐1 𝑎13
∆= | 𝑎21 𝑎22 𝑎23 |; ∆𝑥1= | 𝑐2 𝑎22 𝑎23 |; ∆𝑥2= | 𝑎21 𝑐2 𝑎23 |;
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑐3 𝑎32 𝑎33 𝑎31 𝑐3 𝑎33
𝑎11 𝑎12 𝑐1
∆𝑥3= | 𝑎21 𝑎22 𝑐2 |
𝑎31 𝑎32 𝑐3
Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan uchinchi tartibli ∆ determinant
(1.16) sistemaning determinanti deyiladi. ∆𝑥1, ∆𝑥2 va ∆𝑥3 determinantlar yordamchi
determinantlar deyiladi.
Agar (A) sistemada ∆≠ 0 bo`lsa, u holda
∆𝑥1 ∆𝑥2 ∆𝑥3
𝑥1 = ∆; 𝑥2 = ∆; 𝑥3 = ∆ (2)
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ning (2) formulalar bo`yicha topilgan qiymatlari (1) sistemaning
yechimlari bo`lishini bevosita tekshirib ko`rish bilan ishonch hosil qilish mumkin.
(2) tengliklar Kramer formulalari deyiladi.
(2) formulalarda quyidagi hollar sodir bo`lishi mumkin.
1. ∆≠ 0. Bu holda (2) formulalardan sistema yagona yechimga ega ekani kelib
chiqadi.
1 – misol. Ushbu sistemani yeching:
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
{ 2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 8
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 8
Yechish. Bu yerda

1		2	−1		2				3			−1
∆= | 2		−3	2		| = −8∆𝑥1= |			2	−3			2			| = −8
3		1	1		8				1			1
1		2	−1		1						2	2
∆𝑥2= |	2	2	2	| = −16∆𝑥3= | 2						−3			2	| = −24
3 8 1 (2) formulalardan quyidagilarni topamiz:							3				1	8
−8 −16 −24 𝑥1 =−8= 1; 𝑥2 = −8= 2; 𝑥3 = −8= 3 Javob: (1;2;3) 2. ∆= 0 va ∆𝑥1, ∆𝑥2, ∆𝑥3 determinantlardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, u holda (1) sistema yechimga ega emas. Aniqlik uchun ∆𝑥1= ∆𝑥2= 0 bo`lib, ∆𝑥3≠ 0 bo`lsin. U holda (2) dan: 𝑥3 = ∆𝑥3∆ ⟹ ∆ ∙ 𝑥3 = ∆𝑥3 Ammo, oxirgi tenglikning o`ng tomoni noldan farqli (∆𝑥3≠ 0), chap tomoni esa nolga teng, buning bo`lishi mumkin emas. Demak, yechimga ega emas. 2 – misol. Ushbu 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 2
{						𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 3
4𝑥1 + 6𝑥2 + 2𝑥3 = 0 tenglamalar sistemasi yechimga ega emas, chunki ∆= 0 (tekshirib ko`rishni o`quvchini o`ziga havola qilamiz.) 1.∆= 0 va ∆𝑥1= ∆𝑥2= ∆𝑥3= 0 bo`lsa, (1) sistema yoki yechimga ega emas, yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. 3 – misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching: 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2 { 2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 4 3𝑥1 − 3𝑥2 + 6𝑥3 = 3 Yechish. Bu sistema uchun

∆= 0, ∆𝑥1= ∆𝑥2= ∆𝑥3= 0
Sistema yechimga ega emas, chunki sistemadagi birinchi va uchinchi tenglamalar birgalikda bo`la olmaydilar. Haqiqatan ham, birinchi tenglamani 3 ga ko`paytirib, undan uchinchi tenglamani ayirsak, mumkin bo`lmagan 0=3 tenglikka ega bo`lamiz.
4 – misol. Ushbu
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 3
4𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 = 6 {
3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −1
sistema uchun ∆= ∆𝑥1= ∆𝑥2= ∆𝑥3= 0 . sistemadagi ikkinchi tenglama birinchi tenglamani 2 ga ko`paytirishdan hosil bo`lgani uchun berilgan sistema ushbu { 2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 3
3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −1

sistemaga teng kuchli va cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega. 𝑥3 ga ixtiyoriy qiymatlar berib, 𝑥1 va 𝑥2 ning unga mos qiymatlarini topamiz. Masalan, 𝑥3 = 1 da {2𝑥1 + 3𝑥2 = 4 3𝑥1 − 𝑥2 = −3 5 18 sistemani hosil qilamiz, uni yechib 𝑥1 = −11, 𝑥2 = 11 ni topamiz. 𝑥1 = 0 da 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 0 ga ega bo`lamiz. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishga ega: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑐1
{	𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑐2	(3)
	… … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑐𝑛 Bu yerda 𝑎𝑖𝑘 sonlarga sistemaning koeffitsientlari, 𝑐𝑖 ozod hadlar, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛– noma’lumlar deyiladi. Ta’rif. Agar (3) sistemaning har bir tenglamasidagi 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 noma’lumlar o`rniga mos ravishda 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 qiymatlar qo`yilganda sistemaning barcha tenglamalari ayniyatga aylansa, 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 sonlar (3) sistemaning yechimi deyiladi. Sistemaning yechimi mavjud bo`lish – bo`lmasligi quyidagi determinantga bog’liqdir: 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ∆= | 𝑎21 … 𝑎22 … … … 𝑎2𝑛 … | (4) 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 (4) determinant (3) sistemaning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan. Agar ∆≠ 0 bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi va bu yechim 𝑥𝑖 =∆𝑥𝑖∆ (𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅) formulalar yordamida topiladi. Bunda ∆𝑥1 determinant ∆ determinantning birinchi ustun elementlarini (3) tenglamalar sistemasining ozod hadlari bilan almashtirishdan hosil qilinadi; ∆𝑥2 esa ∆ determinantning ikkinchi ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo`ladi; ∆𝑥3 … ∆𝑥𝑛 lar ham shunga o`xshash hosil qilinadi. (3) tenglamalar sistemasini yechishning bunday usuli Kramer usuli deyiladi. Demak, (3) sistemani yechish uchun (n+1) ta determinant tuzish va hisoblash kerak bo`ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. Biz yuqorida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lgan chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tanishdik va bunday sistemaning determinant noldan farqli bo`lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo`lishini ko`rdik. Endi ixtiyoriy, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bunday sistema uchun yechim yagona bo`lmasligi yoki umuman yechim mavjud bo`lmasligi ham mumkin. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo`lmasa, sistema birgalikda

bo`lmagan sistema deyiladi. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lsa, bunday sistema birgalikda deb hisoblanadi.
Koeffitsientlari sonlardan iborat bo`lgan tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun qulay bo`lgan noma`lumlarni ketma – ket yo`qotish (chiqarish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko`rsatamiz.
Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑐1
{ 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑐2 (5) … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑐𝑚
(5) da 𝑎11 ≠ 0 deb faraz qilaylik. Dastlab birinchi tenglamadan tashqari barcha tenglamalardan 𝑥1 ni yo`qotib, (5) sistemani o`zgartiramiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 𝑎11 ≠ 0 ga bo`lib chiqamiz. Natijada (5) sistemaga ekvivalent bo`lgan yangi sistemani hosil qilamiz:
𝑎12 𝑎1𝑛
𝑥1 + 𝑎11𝑥2 + ⋯ + 𝑎11𝑥𝑛 = 𝑐1/𝑎11
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑐2 (6)
… … … … … … … … … … … … … … …
{ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑐𝑚
Endi (6) sistemaning birinchi tenglamasini 𝑎21 ga ko`paytiramiz va uni ikkinchi tenglamadan ayiramiz. So`ngra birinchi tenglamani 𝑎31 ga ko`paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada quyidagi, yana (5) sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
𝑥1 + 𝑎12̀ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑘̀ 𝑥𝑘 + 𝑎1𝑛̀ 𝑥𝑛 = 𝑐1

𝑎22̀ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑘̀ 𝑥𝑘 + 𝑎2𝑛̀ 𝑥𝑛 = 𝑐2
… … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎𝑖2̀ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑘̀ 𝑥𝑘 + 𝑎𝑖𝑛̀ 𝑥𝑛 = 𝑐𝑖			(7)
… … … … … … … … … … … … … … … …
bunda	{	𝑎𝑚2̀ 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑘̀ 𝑥𝑘 + 𝑎𝑚𝑛̀ 𝑥𝑛 = 𝑐𝑚
𝑎1𝑘 = 𝑎11; 𝑎𝑖𝑘̀ = 𝑎𝑖𝑘 −𝑎11𝑎𝑖1(𝑖 = 2,3, … 𝑚 𝑘 = 2,3, … 𝑛) 𝑎1𝑘 𝑐1 𝑐1 𝑐1̀ = 𝑎11; 𝑐𝑖̀ = 𝑐𝑖 −𝑎11𝑎𝑖1(𝑖 = 2,3 … 𝑚) Endi (7) sistemaning ikkinchi tenglamasini 𝑎22̀ koeffitsientga bo`lamiz va hosil bo`lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma – ket 𝑎32̀ , 𝑎𝑚2̀ koeffitsientlarga ko`paytirib uchinchi tenglamadan boshlab navbati bilan ayiramiz. Natijada (7) ga teng kuchli sistema hosil bo`ladi. Agar (5) sistema birgalikda bo`lsa, u holda natijada quyidagi

𝑥1 + 𝑏12𝑥2 + ⋯ + 𝑏1𝑛𝑥𝑛 = 𝐵1
{ 𝑥2 + ⋯ + 𝑏2𝑘𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑏2𝑛𝑥𝑛 = 𝐵2
… … … … … … … … … … … … … (8)

sistemaga (bunda p) yoki

𝑥𝑝 + ⋯ + 𝑏𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝐵𝑝

𝑥1 + 𝑏12𝑥2 + ⋯ 𝑏1𝑘𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑏1𝑛𝑥𝑛 = 𝐵1

𝑥2 + ⋯ + 𝑏2𝑘𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑏2𝑛𝑥𝑛 = 𝐵2
… … … … … … … … … … … … … (9) 𝑥𝑘 + ⋯ + 𝑏𝑘𝑛𝑥𝑘 = 𝐵𝑘
… … … … … … … …
{ 𝑥𝑛 = 𝐵𝑛
sistemaga ega bo`lamiz. (8) sistema pog’onali sistema, (9) sistema esa uchburchak sistema deb ataladi.
(9) sistema uchburchak bo`lgan holda so`nggi tenglamadan 𝑥𝑛 ni topamiz, so`ngra 𝑥𝑛 ning qiymatini oldingi tenglamaga qo`yib 𝑥𝑛−1 ni topamiz va hokazo.
Demak, agar (5) tenglamalar sistemasi bir qator elementar almashtirishlarni bajargandan so`ng (9) uchburchak sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistemaning birgalikda va u yagona yechimga ega ekenligi kelib chiqadi.
Agar (5) sistema (8) pog’onali sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistema
yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. (8) tenglamalar sistemasini quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:
𝑥1 + 𝑏12𝑥2 + ⋯ + 𝑏1𝑝𝑥𝑝 = 𝐵1 − 𝑏1𝑝+1𝑥𝑝+1 − ⋯ − 𝑏1𝑛𝑥𝑛,
𝑥2 + ⋯ + 𝑏2𝑝𝑥𝑝 = 𝐵2 − 𝑏2𝑝+1𝑥𝑝+1 − ⋯ − 𝑏2𝑛𝑥𝑛
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
{ 𝑥𝑝 = 𝐵𝑝 − 𝑏𝑝,𝑝+1𝑥𝑝+1 − ⋯ − 𝑏𝑝𝑛𝑥𝑛
Bu sistemadagi 𝑥𝑝+1, … , 𝑥𝑛 noma’lumlarga ixtiyoriy 𝛼𝑝+1, … , 𝛼𝑛 qiymatlar berib, uchburchak sistemani hosil qilamiz. Undan esa qolgan barcha 𝑥𝑝, 𝑥𝑝−1, … , 𝑥1
noma’lumlarni ketma – ket topamiz. 𝛼𝑝+1, … , 𝛼𝑛 sonlar turli qiymatlarni qabul qilishligidan (5) sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega ekanligi kelib chiqadi.
5 – misol. Quyidagi sistemani Gauss usul bilan yeching:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 1
{ 𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 22𝑥4 = −1
3𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 5
2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 − 7𝑥4 = 4
Yechish. Birinchi tenglamani ketma – ket 1,3,2 sonlarga ko`paytirib, so`ngra ikkinchi, uchinchi va to`rtinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak,
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 1
{ 𝑥2 − 10𝑥3 + 17𝑥4 = −2
−𝑥2 + 10𝑥3 − 17𝑥4 = 2
−𝑥2 + 10𝑥3 − 17𝑥4 = 2 sistemaga ega bo`lamiz.
Endi ikkinchi tenglamani uchinchi va to`rtinchi tenglamalarga qo`shib, natijada quyidagi sistemani hosil qilamiz:
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 1

Oxirgi ikkita tenglama	{	𝑥2 − 10𝑥3 + 17𝑥4 = −2
		0 = 0
		0 = 0

0 ∙ 𝑥1 + 0 ∙ 𝑥2 + 0 ∙ 𝑥3 + 0 ∙ 𝑥4 = 0
ko`rinishdagi tenglama bo`lib, u noma’lumning har qanday qiymatida ham o`rinli bo`lgani uchun uni tashlab yuboramiz.
Ikkinchi tenglamani qanoatlantiradigan noma`lumning qiymatini topsh uchun 𝑥3 va 𝑥4 larga ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. Masalan, 𝑥3 = 𝛼, 𝑥4 = 𝛽 bo`lsin, u holda 𝑥2 = 10𝛼 − 17𝛽 − 2 bo`ladi. Bu 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 larning qiymatlarini birinchi tenglamaga qo`yib 𝑥1 = −17𝛼 + 29𝛽 + 5 ni topamiz. Sistemaning yechimi 𝑥1 = −17𝛼 + 29𝛽 + 5;
𝑥2 = 10𝛼 − 17𝛽 − 2; 𝑥3 = 𝛼; 𝑥4 = 𝛽
bo`lib 𝛼 va 𝛽 ning ixtiyoriy qiymatlarida berilgan sistemaning hamma yechimlarini beradi.
6 – misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7
{ 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 6
Yechish. Birinchi tenglamaning barcha hadlarini 2 ga ko`paytirib, undan ikkinchi va uchinchi tenglamalarni ayiramiz. Natijada quyidagi ko`rinishdagi sistemaga ega bo`lamiz:
𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7
{ −𝑥2 − 7𝑥3 = 13
3𝑥2 − 8𝑥3 = 8
Ikkinchi va uchinchi tenglamalar faqat 𝑥2 va 𝑥3 nomalumlarga ega. Ikkinchi tenglamaning hadlarini 3 ga ko`paytirib, uchinchi tenglamaga qo`shamiz. Natijada quyidagi sistema hosil bo`ladi:
𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7
{ −𝑥2 − 7𝑥3 = 13
−𝑥3 = 13
Uchinchi tenglamadan: 𝑥3 = −13, buni ikkinchi tenglamaga qo`yib 𝑥2 noma`lumni topamiz:
−𝑥2 − 7 ∙ (−13) = 13,
𝑥2 = 78
𝑥3 va 𝑥2 noma’lumlarning qiymatlarini birinchi tenglamaga qo`yib 𝑥1 noma’lumni topamiz.
𝑥1 + 78 − 3 ∙ (−13) = 7, 𝑥1 = −110
Javob: (-110, 78, -13)
Nazorat savollari:
1.Chiziqli tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi?
2.Sistemaning yechimi deb-chi?
3.Qanday sistemalarga birgalikda, aniq, aniqmas va birgalikda bo`lmagan sistemalar deyiladi?
4.n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi uchun Kramer teoremasini nimani aniqlab beradi?

5.Aniqmas chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechish mumkinmi?
6.Gauss usuli qanday usul?