Yarimgruppa, monoid va gruppalar

YARIMGRUPPA, MONOID VA GRUPPALAR

1.TA’RIF. Agar (A; * ) yarimgruppa bo‘lib, A to‘plam * amalga nisbatan e neytral element mavjud bo‘lsa, u holda A monoid deyiladi.
2.TA’RIF. G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1⁰.: " (a,b,cÎG) a*(b*c)=(a*b)*c;
2⁰. :  (eÎG) " (aÎG) a*e=a;
3⁰.: " (aÎG)  (aÎG) a*a'=e.
u holda G=(G;*, e) algebraik sistemani gruppa deyiladi.
3.TA’RIF. G gruppa GN bo‘lib, agar N to‘plam G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa, u holda N gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi.
4.TA’RIF. Aytaylik (G₁; * ) va (G₂;  ) gruppalar bo‘lsin.
Agar j:G₁G₂ - syur’ektiv akslantirish
"(a,bÎG) j(a*b)= j(a) j(b)
shartni qanoatlantirsa, G₁ gruppa G₂ gruppaga gomomorf deyiladi,
j- akslantirish esa bu gruppalarning gomomorfizmi deyiladi.
Agar j:G₁G₂ - biektiv akslantirish bo‘lsa, u holda G₁va G₂ gruppalarning gomomorfizmi a ni izomorfizm deyiladi.
MUSTAQIL ISH UCHUN MISOLLAR
1. Quyidagi algebralaraik sistemalarning qaysilari yarimgruppa, qaysilari monoid, qaysilari gruppa bo‘ladi.
1) (Z; + ); 2) (Z; ); 3) ( Q; +); 4) (Q;); 5) (R;+); 6) (R;+);
7) (Z \{0}; ); 8) ( Q\{0};  ); 9) ( R \{0}; ); 10) (n Z,+ )
bu erda nÎ N; 11) ( {-1;1}; ); 12 ( (a^x; xÎ R}; ), bu erda a Î R, a>0;
2. 1) ( Z[ ];+,0); 2) (g [ ];+,0); 3) (Q[ ]\{0};  ,1)
algebralarni gruppa ekanligini isbotlang.
4) agar K= bo‘lsa, (K; , 1) algebraik
sistemani gruppa ekanligini isbotlang.
5) agar K= bo‘lsa, (K; , 1) algebraik
sistemani gruppa ekanligini isbotlang
6) agar Q₀ = Q\{0} to‘plamda o binar amal quyidagicha, ya’ni
" (a,bÎQ₀) aob= kabi aniqlangan bo‘lsa
( Q₀; o,2) algebrani gruppa ekanligini isbotlang.
3. 1) Agar G=(G;0,l) gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun (a²=l)
shart bajarilsa, G ni kommutativ gruppa ekanligini isbotlang.
2) agar G=(G;o,1) gruppa bo‘lsa, u holda " (a,bÎG) (a-b)^-1 b^-1a^-1 ekanligini isbotlang.

4. Aytaylik,
R\{0} to‘plamda aniqlangan funktsiyalar to‘plamida amal
(f_i  f_j) (x)=f_i (f_j (x)) i,j=l,2,3,4 berilgan bo‘lsin. U holda (F; ; f, ) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Keli jadvalini tuzing.
5. Aytaylik
R\{0,1} to‘plamda aniqlangan funktsiyalar to‘plamida amal
(f_i f_j) (x)=f_i (f_j (x)) i,j=0, 1,2,3,4 ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. U holda (E; ; f₀ ) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Keli jadvalini tuzing.
6. 1) (2Z;+;0) gruppa ( Z; +, 0 ) gruppaning qism gruppasi, ekanligini isbotlang.
2) ( {2^x:x  Z};  ; 1) gruppa (Q\{0};  ; 1) gruppaning qism
gruppasi ekanligini isbotlang.
3) ( Z; + ; 0 ) gruppa (Z ;+,0) gruppaning qism gruppasi ekanligini isbotlang.
7. 1) (Z; + ; 0), (n Z;+;0) 2) (R; +,0) , ( {a^x:x  R}1)
3) 3.5. -misoldagi (Q {0};  1) va (K; , 1)
gruppalarning izomorf ekanligini isbotlang.

4. 
   (Z ;+,0) va (Z; + : 0) gruppalar gomorf ekanligini isbotlang.
   
5. 
   ( S; + , 0), ( R; + , 0 ) gruppaga gomomorf ekanligini isbotlang.
   
6. 
   Uchta elementli ixtiyoriy ikkita gruppaning o‘zaro izomorf ekanligini isbotlansin.