Задача на трехмерной разрешимой группе Ли solv + с правоинвариантным рапсределением

Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли SOLV⁺ с правоинвариантным рапсределением

В данной работе мы рассматриваем субриманову задачу на трехмерной разрешимой группе Ли SOLV⁺ с правоинвариантным распределением. Эта задача основана на построении Гамильтоновой структуры для заданной метрики Карно-Каратеодори при помощи принципа максимума Понтрягина. В последнее время очень актуальны задачи исследования геодезических потоков на субримановых многообразиях (см., например, [5, 6]). Подробные теоретические аспекты отражены в [1]. Классификация левоинвариантных структур на трехмерных группах Ли приведена А.Аграчевым и Д.Барилари в [3]. Согласно этой классификации существуют инварианты субримановой геометрии, реализуемой на четырех разрешимых непильпотентных группах. Ли: SOLV^-, SOLV⁺, SE(2) и SH(2). Мы занимаемся исследованием групп SOLV^- и SOLV⁺. В работах [8, 9] подробно изучены эти группы с левоинвариантным неголономным распределением.

Ключевые слова: субриманова геометрия, правоинвариантная метрика, Гамильтониан, геодезические.

Пусть Мⁿ гладкое n-мерное многообразие. Гладкое семейство

– мерных подпространств в касательных пространствах в точке называется вполне неинтегрируемым, если векторные поля из , и их всевозможные коммутаторы порождают все касательное пространство Т :

Иногда такое распределение называется вполне неголономныем. Двумерное распределение на трехмерном многообразия является вполне неголономным тогда и только тогда, когда

где в каждой точке вектора и образуют базу в .

Пусть полная риманова метрика на . Тройка называется субримановым многообразием. Непрерывная в смысле Липшица кривая называется допустимой, если для почти всех Длина этой кривой вычисляется по формуле:

Расстояние между двумя точками на многообразии находится следующим образом:

Где является множеством всех допустимых кривых, соединяющих точки . Такая функция называется субримановой метрикой на Mⁿ, а геодезическая этой метрики является допустимой кривой , которая локально минимизирует функционал длины .
Геодезические субримановой метрики должны удовлетворять принципу максимума Понтрягина (смотрите, например, [1]).
Пусть касательные ортонормированные векторные поля из , которые порождают всё в каждой точке .
Принцип максимума Понтрягина утверждает следующее:

• 
  Пусть гладкое – мерное многообразие. Рассмотрим для непрерывных в смысле Липшица кривых следующую задачу минимизации
  

с фиксированным Т. Рассмотрим отображение , заданную функцией

Если кривая с управлением является оптимальной, тогда существует Липшицева функция (ковектор) и постоянная такие, что







Кривая , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина называется экстремальной кривой (или экстремалью). Такой кривой соответствует множество пар ( . Тип экстремальной кривой (нормальный или анормальный) зависит от значения :

• 
  Если , то экстремаль называется нормальной;
  
• 
  Если , то экстремаль называется анормальной;
  
• 
  Экстремаль называется строго анормальной, если она не проектируется (на ) в нормальные экстремали.
  

Для нормальных экстремалей, которые являются геодезическими согласно [1], мы будем полагать .
Из пункта iii) следует, что , а также, что кривая будет геодезической тогда и только тогда, если она является проекцией на решения ( Гамильтоновой системы, действующей на со следующей Гамильтоновой функцией:

Гамильтониан Н является постоянным вдоль любого решения Гамильтоновой системы. Более того, тогда и только тогда, когда геодезическая натурально-параметризованна.
Теперь перейдем непосредственно к нашей субримановой задаче на группе SOLV⁺ с правоинвариантным распределением.
В работах [8], [9] были подробно изучены геодезические потоки субримановой задачи на трехмерных разрешимых группах SOLV^- и SOLV⁺ с левоинвариантным распределением.
Итак, наша группа SOLV⁺ представлена матрицами вида

алгебра Ли которой построена на базисных векторах

а их коммутационные отношения следующие:

Коммутаторы базисных векторов порождает все касательное пространство.
Пусть метрика на группе будет обычной

а правонвариантное распределение образовано площадками . Пусть точка на группе SOLV⁺. Тогда касательное пространство в каждой точке SOLV⁺ определяется матрицами вида

а векторы с помощью правых сдвигов переходят в следующие вектора




то есть,



В каждой точке группы неголономное распределение образовано векторами Для применения Принципа максимума Понтрягина и Гамильтоновой структуры это распределение должно определяться ортонормированной системой. После процесса ортогонализации и нормировки они перейдут в вектора:

Найдем функцию Гамильтона по формуле (1)

Применяя принцип максимума Понтрягина, получаем уравнения Гамильтона для (6)




где точка означает производную по t. Система (7) имеет три первых интеграла:

значит эта система дифференциальных уравнений полностью интегрируема. Нужно отметить, что интегрирование же этой системы является довольно сложной задачей, хотя бы, потому, что интегралы получаются в эллиптических функциях. Мы вычислим явно интеграл только для переменной t. Не теряя общности, будем считать, что все геодезические берут начало в единице группы, то есть справедливы следующие начальные условия для системы (7):

В дальнейшем будем полагать, что

Подставим это все в гамильтониан (6) и получим

Из (7) нетрудно увидеть, что если В этом случае

Если тождественно не может равняться нулю, поэтому из (9) находим . Подставим его в первое уравнение системы (7) и найдем интеграл для переменной при

Случай может быть посчитан аналогично. Последний интеграл разбивается на 2 слагаемых




которые вычисляются в терминах эллиптических функций. Предварительно эти интегралы нужно привести к нормальной форме Лежандра (смотрите [4, 10]). Отметим, что мы будем рассматривать случай, когда квадратный трехчлен имеет два вещественных корня, т.е. . Подкоренное выражение интегралов G(x) является полиномом четвертой степени, который можно привести к виду


и переписать в следующей форме


Подставим полученное разложение в интегралы и сделаем дробно-линейное преобразование , получим


Вычислив эти интегралы после соответствующего преобразования, получим, что




где












Подставляя это выражение в первые три уравнения системы (7) можно получить явные уравнения для геодезических нашей субримановой геометрии.