Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла. Определение криволинейного интеграла по координатам

Независимости от пути интегрирования криволинейного интеграла

ПЛАН
1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного интеграла по координатам.
2. Свойства криволинейного интеграла
3. Вычисления
4. Литература

а) 

б) 

Рис. 1
Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай  когда путь интегрирования – кривая  -кривая  ,  ,  . Т/н. А-работу силы  при перемещении точки  от  к 

1. Разобьем на n частей  : 
Обозначим  вектор- хорда  дуге.
Пусть  предположим, что на  тогда
Работа  вдоль дуги  вычисляется как скалярное произведение векторов  и 

Пусть 

Тогда: 
Работа 
Если  , то этот предел примем за работу А силы  при движении точки  по кривой  от точки  до точки 

,  -не числа, а точки концы линии  .



1. Свойства:
1⁰  определяется
а) подынтегральным выражением
б) формой кривой интегрирования.
в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

Рис. 2

-можно рассматривать как интеграл от векторной функции 
Тогда  - если  -замкнутая то  -называют циркуляцией вектора  по контуру  .

3⁰ 

4⁰  не зависит от того какую точку  взять за начало 

Вычисление криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

Рис. 3
-гладкая кривая.

1. Если  -непрерывны,  -непрерывные.
-непрерывны по  , то 
Пределы А и В не зависят ни от способа деления  на  , ни от вектора 






Следовательно:  .


2. В случае: 


1.Формула Грина.
2.Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
3.Полный дифференциал.
Связь между определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией  (рис. 4).
интеграл криволинейный грин формула

Рис. 4
непрерывны на 
- определена и непрерывна в замкнутой области D.
- определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда

Аналогично

РЕКЛАМА

-Формула Грина.
В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.




Пример.





Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Рис. 5
-  непрерывные частные производные в  (рис. 5).
Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?


Теорема:  -непрерывны в области  , тогда для того, чтобы


в  (рис. 6)

Рис. 6
 
Пусть

Обратно 
Т.д. 
Пусть  из непрерывности  и
-окрестность точки  такая что  в 
предположение неверно. ч.т.д.
Замечание. 




Определение. Функция  -градиент которой есть вектор силы  называется потенциалом вектора  .
Тогда 
Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.

Литература
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.
2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.