[-]

E\A
α
)
(1.1j)
 


!

[


 

 
  
*
x
∈
α
(E\A
α
)

 

 

α
0
!


x
∈ E\A
α
0

 

x

A
α
0
&  
 

 



x
∈
α
A
α

 
 
\ 
x
∈ E\
α
A
α


'

E
\

α
A
α
⊃

α
(E\A
α
)
(1.2j)
 

  
3##+5
3#%+5
 
3#b5
 

 

'
A
∪ B = [0, 1], A\B = {0, 1} , AΔB = {0, 1} , A ∩ B = (0, 1).
.
A
∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, . . .} ,
A
\B = {2, 4, . . . , 2(3n − 2), 2(3n − 1), . . .} , A ∩ B = {6, 12, . . . , 6n, . . .}


A
ΔB = {2, 3, 4, 8, 9, 10, 14, 15, 16, . . .} .
/
A
∪ B = R, A\B = Q

A
ΔB = R, A ∩ B = ∅.

A
∪ B = [0, 1], A\B = A

A
ΔB = [0, 1], A ∩ B = ∅.

A
=
πn
4
, n
∈ Z
, B
=
π
4
+
πn
2
, n
∈ Z

'


B
⊂ A
"

 
 
A
∪ B = A, A ∩ B = B, A\B = AΔB =
πn
2
, n
∈ Z


A
& 
##"!
 
 


 

B
& 
##"
!
 

 


 

A
∪B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} ,
A
\B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y < x} ,
A
∩ B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = x} ,
A
ΔB = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y < x} ∪ {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x < y ≤ 1} .
""#

 
A
∪ B −
#%"!
 

 

A
\B −
!
 
 "


 

A
ΔB; −
!
 

 



 


 

A
∩ B −
!
 

 

 

"&#

.
Z
= Z, X = {1, 2}, Y = {3}

X
× Y = Y × X
 
X
= Y


!

 /
X
× Y = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)},
Y
× X = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}.


X
× Y = Y × X
 

 
 


  
1


 
X
= [0, 1], X
1
= [1, 2], Y = [2, 3], Y
1
= [3, 4].
 .
A
∗
= B ∪ C ∪ D, A
∗
= B ∩ C ∩ D.
$
x
m
= (−1)
m

"

Ω

 

{x
m
} /∈
∞
n
=1
Ω
n
.

§

0-

.
E
(R) =

0,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .

.
/
E
(P ) = R.

E
(S) = [0, ∞).

g
(A) = {0, 1, 2}, g
−1
(B) = [2, 4).

R(A) = {0}, R
−1
(B) = ∅.
 
f
(x) = x, g(x) = 1 − x, (f + g)(x) = 1

f
(x) = x, g(x) = x − 3, (f − g)(x) = 3.
%
%%8"  

&
A


B
&  
 

 


(
A
∩ B = ∅.
'

"

P
(A ∩ B) = ∅

 
   
'
&  
P
 

 
 "


(
P
(A) = [0, 1]

P
(B) = [0, 1]

\ 
P
(A) ∩ P (B) = [0, 1] = ∅ = P (A ∩ B)

.
χ
X
\A
(x) = 1 − χ
A
(x) ,
χ
A
∪B
(x) = χ
A
(x) + χ
B
(x) − χ
A
(x) · χ
B
(x) ,
χ
A
∩B
(x) = χ
A
(x) · χ
B
(x) , χ
A
\B
(x) = χ
A
(x) − χ
A
(x) χ
B
(x)

χ
A
ΔB
(x) = χ
A
(x) + χ
B
(x) − 2χ
A
(x) · χ
B
(x)


 
+
 
1


'
f
(A) =

1
2
,
1,
3
2
,
2,
5
2
,
3,
7
2
,
4


f
−1
(B) = [5, 6)

.
X
= [−3, −2] ∪ [2, 3]

 /
X
⊂ (−∞, 0]


X
⊂ [0, +∞)

 

&  
 
'
 



 


 
 


  
f, ϕ, ψ.
2
  
f, g, ϕ.
'
  
f, ϕ.

§.

 
2**

'
K
a
= {(x, y) : x = a, −∞ < y < ∞} −

 
x
= a

 


!
 

 


.
K
r
=

(x, y, z) : x
2
+ y
2
+ z
2
= r

−

 


 


 

"


r
≥ 0

 
 

 

' 

f
(2n) = n

.
'
&  
 

 
 
f
: R → (0, 1), f(x) =
1
π
arctg x +
1
2



 
 
 
'
 


 

 
  


 


!


_


!
  
&  

A
= N, B = {3, 4, . . . , n, . . .} .

A
= N, B = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2}.
%
2
 

A
=

0, 1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .

, B
=

1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .

&  

 
,
 
[0, 1]\A = (0, 1)\B = C

A


B


 
&  

  
!


f
: A → B

 
 


+
,
 
g
(x) =
⎧
⎨
⎩
f
(x), agar x ∈ A
x, agar x
∈ C


[0, 1]

(0, 1)


 
 


f
(x, y) =

a
+
x
+ 1
2
(b − a), c +
y
+ 1
2
(d − c)


(x, y) ∈ [−1, 1] ×
[−1, 1].
%
A
⊂ R\Q


 
& 

 

 
B
= A ∪ Q


 
& 

 
f
: A → B


 
 


+
,
 
g
(x) =
⎧
⎨
⎩
f
(x),
agar x
∈ A
x, agar x
∈ R\(Q ∪ A)


R\Q

R


 
 "


 
 .
[
 

$
 
 
!


$.
A
= [0; 1]





 

 
!


`b"  



!


&  


& 
&





 

 
%/
A
⊂ [0, 1]

 

& 

 
f
(x) = χ
A
(x) − A
&  


  


   
,
 
χ
A
  


A
& 
 

  
 
\ 
[0, 1]

 



0


1
 

 
!


 
&  
 
[0, 1]

!


&  
 

 
 

+
[0, 1]
&  
!


&  


 

 
&





 


[0, 1]

 



0


1
 

 
!


 
&  
&





 
& 

 
%
`b"  


R
2

!


&  


& 
&





 

 
%
'
& 
7>"  

 
&  
 



!



&





 

 
 
§


 
"
/
2 


&
&  
 
$
*
A, B
∈ P = ∩
α
P
α

 

 
 

α

A, B
∈ P
α

 
P
α
 

  
!


A
ΔB ∈ P
α
, A
∩ B ∈ P
α
.
,
 
A
ΔB ∈ P


A
∩ B ∈ P.

_

 

 

 
' 
$
_

 

 

 

 

%
 

 
/
2 

 
  
 

&

  
A
n
=

n
−1

∈
S

∞
n=1
A
n
/
∈ S.

S
 
 

 
Oxy


  
 


&  
 
   
S
45
 
 
Oxy

45
0




 


  
 


&  
 

"
 
  
S ∪ S
45
 
 
 


d


&  
 

 
  
 

&




S
1
= {A, ∅} , S
2
= {A, {a}, {b, c}, ∅} , S
3
= {A, {b}, {a, c}, ∅} , S
4
=
{A, {c}, {a, b}, ∅} , S
5
= {A, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, ∅}

 "


 

  

 
P
1
= {∅, {a}} , P
2
= {∅, {b}} , P
3
=
{∅, {c}}

  
 

 

  

 


 

 
 
'
 
 

 
  
 

&

  
A
= [0, 7], B = (1, 3)
!


A
ΔB = [0, 1] ∪ [3, 7]
& 

 
 

$
A
= (0, 7] × (0, 7]


B
= (0, 5] × (3, 5]
&  
!


A
ΔB

 
 

%
'
 
 


+

'
 
 

 

&
[

 
b


 !

 
  
&
 
a>
'
'
 
σ
−
 

 

σ
−
  

 

.
P
A

 

 

 
  
 


B
1
= A∩B
1
, 
B
2
=
A
∩ B
2

 
,
 

B
1
∩ 
B
2
= (A ∩ B
1
) ∩ (A ∩ B
2
) = A ∩ (B
1
∩ B
2
) ∈ P
A
.





B
1
Δ 
B
2
= (A ∩ B
1
)Δ(A ∩ B
2
) = ((A ∩ B
1
) ∪ (A ∩ B
2
)) \ (A ∩ (B
1
∩ B
2
)) =
= A ∩ (B
1
ΔB
2
) ∈ P
A

 
\ 
P
A
 
 

 
'
 
A
& 
 


 

(
P
A
 
  

 
*
P
 
σ
−
 

 

 
P
A
&  
 
σ
−
  

 
 

  
 /
X

 
& 

 
 
5
_

 

 

5


!5



 

 
 


  

 



$
§.
 #

*
 
'
A
=

1
27
,
2

[3, 4) , μ(A) = 2
26
27
.
.
A
=

1
27
, e

  
3, e
2

∪
 
9, e
3

, μ
(A) = e
3
+ e
2
+ e − 12
1
27
.
/
A
=

1
60
,
1
24


1
16
,
5
2

,
μ
(A) = 2
37
80
.

A
=

3
256
,
1
4


1
256

, μ
(A) =
61
256
.

A
=

0,
3
8


3
8
,
13
24


7
8
,
25
24

,
μ
(A) =
17
24
.
&
μ
(A) = 0.
'
μ
(A) =
1
2
.
.
μ
(A) = 1.
/
A
k
⊂ [0, 1], k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
 
 
!
 
 




 
k
 
 
 
&  

 
  
'
 
!
 
 




 
5
 
 
"

&  
 !


#

 
ab"  

 





  
k
∈ {1, 2, . . . , 9}
!


μ
(A
k
) = 1

 

  
2 
!
 
 




 
#

$
!


 
!

 
 "

 
&  
A
1
∩ A
2
∩ · · · ∩ A
9




 
,
 
μ

[0, 1] \ (
9

k
=1
A
k
)

= μ

9

k
=1
([0, 1] \ A
k
)

≤
9

k
=1
μ
([0, 1] \ A
k
) = 0

 
\ 
μ
(A
1
∩ A
2
∩ · · · ∩ A
9
) = 1

 
 
2

  
A
= [0, 1]∩Q

 

 
μ
(A) = 0, μ(A) = 1

 
'
5
b`" (