[-]

A
'
&
& 

 
A
n
=

n
−
1
3
n
, n
+
1
2
n

&  
 

 



!


μ
(A) =
∞

n
=1
μ
(A
n
) =
∞

n
=1

1
2
n
+
1
3
n

=
3
2

5
μ
(A) = ∞,
!5
μ
(A) = 1.
.
5
μ
(A) = 1,
5
μ
(A) = 0,
!5
μ
(A) = ∞,
5
μ
(A) = 3, 5,
5
μ
(A) = 2
1
3
+
1
e
(e − 1)
,

5
μ
(A) = 2
3
10
.


 /
5
A
2n−1
= [n − 1, n) , A
2n
= [−n, 1 − n)

5
A
n
= [n, ∞) ∪ (0, 1) .
!5
A
n
= (−∞, n) ∪ N

5
A
n
=
∞
k
=1

k
+
1
√
n
+ k
, k
+
1
√
n
+ k − 1

.
 
5
μ
(A) = π,
5
μ
(A) = π.
 
μ
(A) = 1 − a

  
E
(f) = [0, λ].
 $
 
+

 %
B
⊂ [0, 1]
 !


& 

 
,
 
A
= {(x, y) : x ∈ B, y = 1}
∪ {(x, y) : x = 1, y ∈ B}
& 
!


pr
x
A
= B, pr
y
A
= B

 
 &
A
\A
1
= P
1
∪ P
2
∪ P
3
∪ P
4
3a#"!
 
5
P
1
= [0, 4) × [0, 7) ,
P
2
= [4, 7) × [5, 7)

P
3
= [6, 7) × [0, 5) , P
4
= [4, 6) × [0, 3) .
μ
(A\A
1
) = 45.
'"#

 '
A
\A
1
= P
1
∪ P
2
.
a%"!
 

P
1
= [0, 3) × [0, 7) , P
2
=
[0, 7] × {7} . μ(A\A
1
) = 21

'&#

 .
A
\A
1
= P
1
∪ P
2
∪ P
3
.
a`"!
 

P
1
= [0, 7] × [6, 7] , P
2
=
[0, 7] × {0} , P
3
= {7} × [0, 6)

μ
(A\A
1
) = 7

'$#



%/
:
μ
(A ∪B) = μ(A)+μ(B)−μ(A∩B)
 

 
  
A
∪B

 

 

&  
  


 
  -
A
∪ B = (A \ (A ∩ B)) ∪ (B \ (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B).
'


 


 !


  

μ
(A ∪ B) = μ(A \ (A ∩ B)) + μ(B \ (A ∩ B)) + μ(A ∩ B)
(5.1j)

   
 (  
 !

 
E


A
&  
!


A
⊂ E

 
μ
(E \ A) = μ(E) − μ(A)
 
 
2



μ
(A \ (A ∩ B)) =
μ
(A) − μ(A ∩ B), μ(B \ (A ∩ B)) = μ(B) − μ(A ∩ B)

 
' 
3a#+5
 


μ
(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B)
 
   
:
 

 

 

   -
μ
(AΔB) = μ((A ∪ B) \ (A ∩ B)) = μ(A ∪ B) − μ(A ∩ B).
(5.2j)
3a%+5

μ
(A ∪ B)

μ
(A) + μ(B) − μ(A ∩ B)


μ
(AΔB) =
μ
(A) + μ(B) − 2μ(A ∩ B)
 
   
%$
5
μ
(A) = 1.
5
μ
(A) = 2.
!5
μ
(A) = 1.
5
μ
(A) = 1.
%%
5
μ
(A) = 11 − 2e

5
μ
(A) = 3

!5
μ
(A) = 4 + 2e

5
μ
(A) = 5

%&
d  
 !


& 
!

 
'
!


[−1, 1]

 

  


 


!

   -

x


y


 
x
− y ∈ Q

 
 
   
  
'


 

 

 
2

!


[−1, 1]

 
 

 

 




K
(x), x ∈ [−1, 1]
:

+ 
'
 
:
 

 

2


 
[−1, 1]

 
 

 

K
(x), x ∈ [−1, 1]
:

+ 
[

"
:


 

 
 

 
 


&  
A
 

 
  


 
A
& 
 !


& 

 


%'
. !

 

 !




 
 
  
A
⊂ [0, 1)

B
⊂ [1, 2)

 !


&  

 
,
 
 

 
A
∩ B = ∅
 !

 
&  
A
∩ A = A
 !


& 

 
%.
. !

 
 
 !




 
 
  
A
0
= [0, 1)
 !


& 

 
A
= A
0
∪ [1, 2), B = A
0

 
A
\B = [1, 2)
 !

 
& 

 
*
A
= A
0
∪[1, 2), B = [1, 2)
 
A
\B = A
0
 !


& 

 
&/
. !

 
 
 !




 
 
&
  
&
*
A
∩ B = ∅

 

 
 !

 
& 

 
*
B
⊂ A

 

 
A
∩ B = B
 !

 
& 

 
*
A
⊂ B

 

 
A
∩ B = A
 !


& 

 
&
*
A
⊂ B

 
A
\B = ∅
 !

 
& 

 
*
B
⊂ A

 
A
\B
 !


& 

 
& 
A
∩ B = ∅
 
B
\A = B
 !

 
& 

 
B
⊂ A
 
B
\A = ∅
 !

 
& 

 
A
⊂ B
 
B
\A
 !


& 

 
&$
A
∩ B = ∅

 !

 
&  
B
⊂ A


A
⊂ B
 
A
ΔB
& 
 !



 
'$
=

&  
'%
ab%"  
a
= 0, 1
 
 
μ
(A) = 0, 9

 
'
A
& 
 !



!


 

 
& 

 
'&
 
+

''
A
= K ∪ ([0, 1] ∩ Q)

'


K
=

&  
'.
2

./
A
= K, B = K

'


K
=

&  
.
A
= B = K.
'


K
=

&  
K
+ K = [0, 2]
 

#`a"  

 
.
a##" (


μ
F
(A) = F (5) − F (1) = 2 · 5 + 1 − (2 · 1 + 1) = 11 − 3 = 8.
. 
μ
(A) = 6.
.&
:

#:
a$7"  

.'
X
= [0, 1]
Q
   
S
m
 
X

(a, b)


 
[a, b]

 


[a, b), (a, b]




 
 

  


&"
 
 

 
  
S
m


 

 
*
A
ab
= X
(a, b)
(
[a, b],
(a, b],
[a, b))
 




A
ab
&  
m
(A
ab
) = b−a




& 


m
: S
m
→ R
+
 
 
σ
−
 

 
 !



 
..
#5
m
& 


 

R

!


&  
 

 
'
 


 

 
%5
m
(A) ≥ 0
 
m

 


!

`5

A


B
&  

 
μ
(A ∪ B) =

n
∈N
(A
B
)
1
2
n
=

n
∈N
A
1
2
n
+

n
∈N
B
1
2
n
= μ(A) + μ(B)
 
 
'


 !


  



!

μ
(A) =
0

μ
(B) = 0, 875.




0
"4-
"
5
*

#"d
%"*
`"d
b"\
a"\
7"*
8"*
W"d
$"'
#>"d
##"d
#%"\
#`"'
#b"'
#a"*
#7"\
#8"d
#W"*
#$"'
%>"\
%#"'
%%"*
%`"d
%b"'
%a"d
%7"'
%8"*
%W"d
%$"'
`>"d
`#"d
`%"\
``"*
`b"\
`a"'
`7"d
`8"*
`W"'
`$"d
b>"\



6;6<
=6< 
,


  
 !

 

 


 
/ 


 
 



 
. !

 

 
/ 


 

!

 



 
. !

 

 
(;
 

"
 

 
X 
 !

 

 
&  
 
  "

 

& 

 
 !

 

 

"

"
 


/ 


 
(;

 



 
*  
"
 




  
!



 !

  

 
%
§

 #

*
,-0)

'
&
 


)
)
(




 
 "
!

 



!


  
. !

 

 
/ 


 "

 



 
' 
E
⊂ R (E ⊂ R
2
)
/ 

(
 !

 
& 



 

  
f



 

 
%7,
!

 
c
∈ R

{x ∈ E : f(x) < c} := E(f < c)
 
  

 
f

E
 
  
   
%
f
: E → R, f(x) = a = const


 !

 

 
(

 

 
!
"#

 

c
∈ R
!


E
(f < c) = {x ∈ E : f(x) < c} =
⎧
⎨
⎩
E, agar c > a,
∅, agar c ≤ a
 
 
E


∅
&  
 !

 
\ 
 

c
∈ R
!


E
(f < c)
& 
 !

 


7#" (


f
(x) = a


E

 !

 

 

%

 
(

 
 !

 

 

 


5
f
(x) = [x], x ∈ [0, 2).
5
f
(x) = {x}, x ∈ [0, 2).
!5
f
(x) = 2x + 3, x ∈ [0, 3]

5
f
(x) = x
2
− 5, x ∈ [−2, 3].
5
f
(x) = 2
x
− 1, x ∈ [0, 2].

5
f
(x) = ln(x + 1), x ∈ [0, 2).
5
f
(x) = sin x + 5, x ∈ [0, π].
5
f
(x) = cos x + 5, x ∈ [−π, 0].
!
"#

'
5
 

!
 

  
 

c
∈ R
!


E
(f < c) = {x ∈ E : [x] < c} =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∅, agar c ≤ 0
[0, 1), agar 0 < c ≤ 1
[0, 2), agar c > 1
 
 
∅


[0, 1)

[0, 2)
&  
 !

 
\ 
 

c
∈
R
!


E
(f < c)
& 
 !

 


7#" (


f
(x) = [x]


E
e
[0, 2)

 !

 

 

%
. !

 

 





!
"#

E

 !

 
&  
A
⊂ E
 !


& 

 
<



  -
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
− 1,
agar x
∈ A
1,
agar x
∈ E\A .
(6.1)
'


!


E
(f < 0) = A

 

 !


&  
\ 
f


E

 !

 


% 
*
A
⊂ E
 !


& 

 

 
g
(x) = χ
E
\A
(x)


 !



 

 


1
& 
  


(;


E
(g < 0, 5) = A

 

 !


&  
\ 
g
: E → R
 !

 




%$
*
f


E
&  
 !

 

 

 
 

a, b
∈ R

!



&  


 !

 

 

 -
1) E(f ≥ a); 2) E(a ≤ f < b); 3) E(f = a);
4) E(f ≤ a); 5) E(f > a).




*
 
 
f
 !

 



 

 
(


 "

a
∈ R
!


E
(f < a)
& 
 !

 

 
#5
E
(f ≥ a) = E\E(f < a)
 
 
 !

 
&  
 
!

 !

 

 
E
(f ≥ a)
&  
 !

 

 


!

%5
E
(a ≤ f < b) = E(f ≥ a) ∩ E(f < b)
 
 
 !

 
&  

 
 !

 

 
E
(a ≤ f < b)
&  
 !

 

 


!

`5
E
(f = a)
&  
 !