[-]

|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | ≤ C
(9.10)
 

   
 
C

 

 

 
f

[a, b]
 
 


 
   
. 7,
+ 
[a, b]
 
 


 
f


 

  
3$#>5
 



  

  


 






f

[a, b]
 
 
 
$  
 &
  

V
b
a
[f]
 

 

V
b
a
[f] = sup
{x
i
}
n

i
=1
|f(x
i
) − f(x
i
−1
)| .
(9.11)


.&




 
 

f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
!
  



 
 
f
(b) − f(a)



 


[a, b]

 
x
i
(i = 1, 2, . . . , n)

  

 
a
= x
0
< x
1
<
· · · < x
n
−1
< x
n
= b
 

n
 

  




 

n

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) |
(9.12)


  
f

 
 




 
!


|f (x
k
) −
f
(x
k
−1
) | = f (x
k
) − f (x
k
−1
)
 
 
'
 
3$#%5
"

  
f
(b) − f(a)



 


!

\ 
 

 
 


 
!


3$#%5

  
[a, b]

 "


 

 




f
(b) − f(a)


2




V
b
a
[f] = f(b) − f(a)
 
 

.'
*
f
: [a, b] → R


[a, b)




 
 

 

 

 
!
  


V
b
a
[f] = | f(b − 0) − f(a)| + | f(b) − f(b − 0)|
(9.13)
 
 

 


[a, b]

 
x
i
(i = 1, 2, . . . , n)

  

 
 


 

  


[a, b)




 
 

 "


 



   -
n

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | =
n
−1

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | + |f (b) − f (x
n
−1
) | =
=
##
##
#
n
−1

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
)
##
##
#
+ |f (b) − f (x
n
−1
) | =


= |f (x
n
−1
) − f (a) | + |f (b) − f (x
n
−1
) |.
(9.14)
[
ψ
(x) = |f(x) − f(a)| + |f(b) − f(x)|, x ∈ [a, b)


 
 
"




 

 
  
'
!


[a, b)




 

 
!

 

x
1
< x
2

  
!


ψ
(x
2
) − ψ (x
1
) ≥ 0

 

 



ψ
(x
2
) = |f(x
2
) − f(a)| + |f(b) − f(x
2
)| = |f(x
2
) − f(x
1
) + f(x
1
) − f(a)|+
+|f(b) − f(x
1
) − (f(x
2
) − f(x
1
))| = |f(x
2
) − f(x
1
)| + |f(x
1
) − f(a)|+
+|f(b) − f(x
1
) − (f(x
2
) − f(x
1
))|.
(9.15)
3$#a5



 
f

[a, b)




 
 
3
(
f
(x
2
)−f(x
1
)
 
f
(x
1
)−f(a)



 5

 


!
"

 

c


d
 
!


|c − d| ≥ |c| − |d|

 

 
ψ
(x
2
) − ψ(x
1
) =
= |f(b) − f(x
1
) − (f(x
2
) − f(x
1
)) | + |f(x
2
) − f(x
1
)| − |f(b) − f(x
1
)|

 
;  

  
'

ψ

[a, b)


 
 




 

 

3$#b5
 
sup
{x
j
}
n

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | = sup
a
n−1

ψ
(x
n
−1
) = ψ (b − 0)
 


!



 
 
(;





"
  -
V
b
a
[f] = ψ (b − 0) = |f(b − 0) − f(a)| + |f(b) − f(b − 0)|.

..
f
(x) = sin x


[0, π]

 
 
!
  

"

(

 

 


!
"#

[0, π]

 
x
i
(i = 1, 2, . . . , n)

  

 
 

n

 


  




 

n

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | =
n

k
=1
| sin x
k
− sin x
k
−1
|
(9.16)

 
  
*
sin x−sin y = 2 cos
x
+ y
2
sin
x
− y
2


| sin x| ≤
x,
x
≥ 0
 

 
3$#75

!

 
 -
n

k
=1
|f (x
k
) − f (x
k
−1
) | =
n

k
=1
|2 cos
x
k
+ x
k
−1
2
sin
x
k
− x
k
−1
2
| ≤
≤
n

k
=1
2

x
k
− x
k
−1
2

= x
n
− x
0
= π.
\ 
f
(x) = sin x


[0, π]

 
 
!
  

()
*
+,
*


*+-
 +

#

-

$#>"$#`"  

 

 
[a, b]

 
  


, 

 

  

 
!
&

  "

 
, 
!

  

  
&
  

  
 
 
./
f
(x) = [x], [−1, 3]

.
f
(x) = sign x, [−1, 5]

.
f
(x) = χ
(0,4]
(x), [−2, 4]

.
f
(x) = 2 · sign x + 3 · χ
(−1,0)
(x), [−4, 5]

. 
[a, b]

 
 



 





 
!
  
 !

 
 
Z 


/ 

( 

 "

!


 


.$
= 
 


 
f
: [a, b] → R


!


f
c
(x) = f(x) − f
d
(x), x ∈ [a, b]


f

 

  
f
c
: [a, b] → R

 

 

 
'


f
d
3$$5
 
 
 
.%
= 
 

3 
5

 


 
 

3"

5



 
$#8"$%>"  

 

 

 
 


 

 
 
 




 
 
&
.&
f
(x) = x + sign x + χ
[−1, 0)
(x),
x
∈ [−2, 2]

.'
f
(x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
3
, x
∈ [−10, −2),
−7, x ∈ [−2, 0),
x
− 3, x ∈ [0, 4].
..
f
(x) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

2x
π

+ sin
3
x,
x
∈ [−
π
2
,
0)
sin
2
x
+ sign x, x ∈ [0, −
π
2
] .
./
f
(x) = 2x + [x], x ∈ [−2, 4]

  

 

 
3$%#"$%`5

 
.
  



!


  

  

.
  


  

  

&
 

 
.
.
 

 



 





 
 
 





 

 
 



 
 
 
. 
f
(x) = x+[x]


[−2, 1]

 
 
 





 

 




 
 


.$
2 


 
 
 
!


  
 


 
.$
  




&
 


 



 

 
.%
= 
 






&
 

 
 
"




 

 
.&
.
!



;


&
 

 

!




 
.'
*
f
(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]

 

!




 
g
(x) =
$
x
a
f
(t)dt

 
 




 

 
..

 



 



  c
f
(x) = x
2
,
g
(x) = 1 − 2x, x ∈ [0, 2]

 
 
 
./
 
 



&
 
 



  c
f
(x) = x, g(x) = x − 2, x ∈ [0, 2]

 
 
 
.
*
f


g

[a, b]


 
 


 

 
f
(x) ≥ 0


g
(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]

 

 
ϕ
(x) = g(x) · f(x)


[a, b]


 
 




 

 
.
*
f


[a, b]


!




 
f
(a) = A, f(b) = B


g
: [A, B] → R−
 



 

 
g
(f(x))


[a, b]

 

  c
.



 

f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
!
  



 
 
f
(a) − f(b)



 
1



 c


. 
*
f
: [a, b] → R


(a, b]

 

 

 

 
!
  


V
b
a
[f] = | f(a + 0) − f(a)| + | f(b) − f(a + 0)|
 
 

 
.$
*
f
: [a, b] → R


(a, b)


 
 

 

 

 
!
  


V
b
a
[f] = | f(a + 0) − f(a)| + | f(b − 0) − f(a + 0)| + | f(b) − f(b − 0)|
 
 

 
$`7"$bb"  

 


 
!
  

"

(

 

 
.%
f
(x) = 3x + 1,
[0, 2]

.&
f
(x) = 2x
2
+ 5,
[−1, 3]

..
f
(x) = 2 cos x,
[−π, π]

. /
f
(x) = tg
x
4
,
[−π, π]

. 
f
(x) = ln(1 + x),
[0, e]

. 
f
(x) = 2
x
+ 5x,
[−2, 3]

. 
f
(x) = x e
x
+1
+ 5,
[−1, 1]

.  
f
(x) = 3|x − 1| + 4, [0, 2]

$ba"$a`"  

 
 

 
. $
*
f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
!
  

 

 
 

k
∈ R
!


k
+ f


 
!
 "
 


V
b
a
[k + f] = V
b
a
[f]
 
 


. %
*
f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
!
  

 

 
 

k
∈ R

!


k
· f


 
!
  



 
 
V
b
a
[k f] = |k| V
b
a
[f] .
. &
*
f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
!
  

 

 
 

k, l
∈ R
 
!


k
· f + l


 
!
  



 
 
V
b
a
[f] [k · f + l] = |k| V
b
a
[f] .
. '
f
: [a, b] → R


[a, b]

 
 
 


 
!


f
(x) = const

 




 

 
. .
 

f