[-]

, 1]



  
'


K
="

&





< 

 
5
f
: [0, 1] → [0, 2]
 


 (

!


4


5
f
: [0, 1] → [0, 2]

 
 
4
!5
μ
(f(K)) = 1, K −
=

&  
/$
=




 

 
5
K

x
3

=
1
2 · K
(x), x ∈ [0, 1]
4
5
K

2
3
+
x
3

=
1
2
+
1
2 · K
(x), x ∈ [0, 1].
/%
[a, b]

 

  

 
 

 

"




/&
*
f


[a, b]

 
 

 

 
|f|

 
 



 

 
/'
|f|

 
 

 
f

 
 

 


!
 

<
 
 
 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
−1,
x
∈ Q,
1,
x
∈ R\Q.
/.
*
f


[a, b]

 

 
|f|
 
 

 

 
f

 
 

 

 
/ /
*
f
n
: [a, b] → R, n ∈ N


 
 

 
 

 

 


x
∈ [a, b]

∞

n
=1
f
n
(x)
 
f


 "


 
  
;

f

[a, b]

 
 

 

 
/ 
*
f
n
: [a, b] → R
 


 

"

!



"


f
: [a, b] → R
 
!
  



+

 
lim
n
→∞
V
b
a
[f − f
n
] = 0

 

 
  
;

f


  


 




 

 


/ 
*
f
n
: [a, b] → R
 
 

 

"

!





f
: [a, b] → R
 
!
  



+

 
lim
n
→∞
V
b
a
[f − f
n
] = 0

 

 
  
;

f

 
 



 

 
/ 
*
F
: [a, b] → R

 

 
 

 
"



 
c
1
, c
2
, . . .


[a, b]

  

  

 

 
$
[a,b]
f
(x)dF (x) =

k
=1
f
(c
k
)[F (c
k
) − F (c
k
− 0)]
(10.5)
 
 

 
/  
*
F
: [a, b] → R
 
 



 

 
$
[a,b]
f
(x) dF (x) =
$
[a,b]
f
(x)F

(x) dμ
(10.6)
 
 

 
/ $
*
F
(x) = const

 

 
 

f
: [a, b] → R
!
  "



!


$
[a, b]
f
(x) dF (x) = 0
 
 

 
/ %
<
 

 
$
A
1 · dF (x) = μ
F
(A).
/ &
/ 
"2  

 
!




  





 
_
(
f
: [a, b] → R


g
: [a, b] → R

 
!
  

 

 

 

 
$
[a, b]
f
(x) dg(x) = f(b)g(b) − f(a)g(a) −
$
[a, b]
g
(x) df(x).
(10.7)


/ '
*
 
 
x
= ϕ(t), α ≤ t ≤ β
 



!




 
ϕ
(α) = a, ϕ(β) = b

 
f
: [a, b] → R
  
F
: [a, b] → R

 
 


 

 
,
 
$
[a, b]
f
(x) dF (x) =
$
[α, β]
f
(ϕ(t)) dF (ϕ(t))
 
 

(
/ 
"2  

 
   
  

 


 
/ .
*
f
: [a, b] → R


g
: [a, b] → R

 
!


Z "2  

 

+

 

 
/ 
"2  

 


+


 
 


(
(L − S)
$
[a, b]
f
(x) dg(x) = (R − S)
$
b
a
f
(x) dg(x)
/$/
+
[0,1]
K(x)dF (x)
/ 
"2  

 
 
'


K(x)−
="

&





F
(x) = 2x + 1.
/$
+
[0,1]
K(x)dF (x)
/ 
"2  

 
 
'


K(x)−
="

&





F
(x) = [3x] + 2x.
/$
<
f
: [0, 1] → R


[0, 1]

g   

!


 

 
 


[0, 1]


 

!

"


 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
0,
x
= 0
x
2
sin
1
x
2
,
0 < x ≤ 1
.
/$
f
: [a, b] → R
  
F
: [a, b] → R

 
 


 
!


 
 

 

 

(
$
[a,b]
f
(x) dF (x) = f(c)[F (b) − F (a)], ∃ c ∈ [a, b].


/$ 
<
f
(x)


F
(x)

 

 
/ 
"2  

 
$
[a,b]
f
(x) dF (x)

 
#5
f
(x) = x, F (x) = cos x, x ∈ [0, π].
%5
f
(x) = sin x, F (x) = |x|, x ∈ [−π, π].
`5
f
(x) = x
2
+ 3, F (x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
+ 2, x ∈ [−2, −1],
2,
x
∈ (−1, 0),
x
2
+ 1,
x
∈ [0, 2].
b5
f
(x) = x, F (x) = [x], x ∈ [0, n], n ∈ N.
a5
f
(x) = x
2
, F
(x) = [x], x ∈ [0, n], n ∈ N.
75
f
(x) = x + 2, F (x) = exp x · sign(cos x), x ∈ [−π, π].
85
f
(x) = x − 1, F (x) = cos x, x ∈ [0, π].
W5
f
(x) = x
2
, F
(x) = K (x), x ∈ [0, 1].
$5
f
(x) = 1 + 2x, F (x) = K (x), x ∈ [0, 1].
#>5
f
(x) = [3x], F (x) = K (x), x ∈ [0, 1].
/$$
<
 

  -
f
(x) =
∞

n
=0
b
n
cos(a
n
πx
), b ∈ (0, 1), a ∈ N va toq son.
'
f
: R → R


 

 

 
*
ab >
1 +
3
2
π

 
f
: R → R




 

!
  
 

 

 
/$%
<

 
 
 

 

 
 

 
 

 

 
 
 -
5
f
(x) = x
2
+ 2, x ∈ [−1, 2],
5
f
(x) = exp x
2
, x
∈ [−1, 2],
!5
f
(x) = | cos x|, x ∈ [−π, π],
5
f
(x) = sin x, x ∈ [−π, π].





-
0
#

-
"

*


<

 
   -
f
+
(x) = |
f
(x)| + f(x)
2
,
f
−
(x) =
f
(x) − |f(x)|
2
,
<
 
!

 

+ 
#5
f
+
 !

 

 
f

 !

 

 
%5
f
−
 !

 

 
f

 !

 

 
`5
f
+


f
−

 !

 

 
f

 !

 

 
*5
#
%
'5
#
`
d5
%
`
\5
`

<
 
!

 

+ 
#5
|f|
 !

 

 
f

 !

 

 
%5
f
2
 !

 

 
f

 !

 

 
`5
f
+


f
−

 !

 

 
f

 !

 

 
*5
#
%
'5
#
`
d5
%
`
\5
`

f
(x) = 2x, x ∈ E = [0, 5]


!


E
(f < 6)
&  
&
*5
[0, 2]
'5
[0, 3)
d5
[0, 5)
\5
[0, 2)
 
f
(x) = [2x], x ∈ E = [0, 5]


!


E
(f = 4)
&  
&
*5
[0, 2]
'5
[2,
5
2
)
d5
[2, 5)
\5
[2, 3)
$
f
(x) = ln

x
2
− 2x + 1

, x
∈ E = (0, ∞)


!


{x : f(x) <
0}
&  
&
*5
(0, 2)
'5
(0, 1) ∪ (1, 2)
d5
(0, ∞)
\5
(0, 3)
%
f
(x) = 2
x
−1, x ∈ [0, 5]


!


{x : 3 < f(x) < 7}
&  
&
*5
[0, 3]
'5
(2, 3)
d5
[0, 3)
\5
[2, 3)


&

x
∈ [0, π] : sin x ≤ 2
−1

& 
 !


&
*5
π
3
'5
2π
3
d5
π
6
\5
π
4
'
{x ∈ [0, π] : sin x ≤ cos x}
& 
 !


&
*5
π
4
'5
2π
3
d5
3π
4
\5
π
3
.
A
⊂ [0, 1]−
 !


&  
D−
\


f
1
(x) =
⎧
⎨
⎩
0, x ∈ A
1, x ∈ [0, 1]\A
, f
2
(x) = f
1
(x) + D(x), f
3
(x) = f
1
(x) · D(x).
. !

 

 

 
&
*5
f
1
'5
f
1
, f
2
d5
f
1
, f
3
\5
f
2
, f
3
/
A
⊂ [0, 1] −
 !


&  
R−
Z 


f
1
(x) = 1 − χ
A
(x),
f
2
(x) = f
1
(x) − R(x), f
3
(x) = f
2
(x) · D(x).
. !

 

 
&
*5
f
1
'5
f
2
, f
3
d5
f
3
\5
f
2

[0, 1]

 
 

 

 
&-
f
1
(x) = R(x), f
2
(x) = D(x), f
3
(x) = x.
*5
f
1
'5
f
2
, f
3
d5
f
3
\5
f
1
, f
2

f
1
(x) = 1 + R(x), f
2
(x) = 1 + D(x), f
3
(x) = 1 + R(x) + D(x)

 
!

f
(x) ≡ 1


 

 
&
*5
f
1
, f
2
'5
f
1
, f
2
, f
3
d5
f
2
, f
3
\5
f
1
, f
3

f
1n
(x) = sin
2n
x, f
2n
(x) = cos
n
x, f
3n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
, f
4n
(x) = 1 +
x
n
 !

 

 

"
 

 
[0, 1]
&  
f
(x) ≡ 0




 c
*5
f
1n
'5
f
2n,
f
3n
d5
f
1n
, f
3n
, f
4n
\5
f
1n
, f
2n
 
f
1n
(x) = sin
n
x, f
2n
(x) = cos
n
x, f
3n
(x) =
nx
1 + n
2
x
2
, f
4n
(x) = x
n
 !

 

 

"
 

 
[0, 1]
&  


f
(x) ≡ 0



  

 c
*5
f
1n
'5
f
1n,
f
3n
d5
f
1n
, f
3n
, f
4n
\5
f
1n
, f
2n
$
E
= [0, 4]
&  

 
f




&
*5
f
(x) = x
'5
f
(x) = [x]
d5
f
(x) = e
x
\5
f
(x) = sin x
%
E
= [0, 3]
&  

 



 

 
f
1
(x) = x,
f
2
(x) = 1,
f
3
(x) = D(x)
*5
f
1
, f
2
, f
3
'5
f
1
, f
3
d5
f
1
, f
2
\5
f
2
, f
3
&
f
(x) = 1 + sign x




!


A
1
= {x ∈ [−2, 3] : f(x) = 0}
&  
&
*5
[−2, 0]
'5
[−2, 0)
d5
[−2, −1]
\5
[−2, 3]
'
f
(x) = 5 − [2x]




!


A
1
= {x ∈ [−2, 3] : f(x) = 1}
&  
&
*5
[2, 3]
'5
[2, 3)
d5
[2, 2, 5)
\5
[2, 2, 6]
.

 
  

&
*5
*
μ
(A) = 0

 

 
+
A
f
(x)dμ = 0
'5
+
A
[f(x) + g(x)]dμ =
+
A
f
(x)dμ +
+
A
g
(x)dμ
d5
+
A
k
· f(x)dμ = k
+
A
f
(x)dμ
\5
*
f
(