[-]

X
× X
 
X

 " 
 


&
 

 
  
7,
!

ρ
: X × X → R
  

 
 

  

X



 
  "
.&
ρ
(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
$
&
/&
ρ
(x, y) = ρ(y, x), ∀ x, y ∈ X
$  
&
0&
ρ
(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)

∀ x, y, z ∈ X
$

& 
(X, ρ)
 

 
 
   
. 

 

(
(X, ρ)
+ 
 
X
;
 

 "

*
X
&  
ρ
1
, ρ
2
, . . . , ρ
n

 
 

 

 


(X, ρ
1
), (X, ρ
2
), . . . , (X, ρ
n
)

  



X
1
, X
2
,
. . . , X
n
:
 

 
7,
!


C
1
>
0

C
2
>
0
 
 

 



x, y
∈ X


C
1
ρ
1
(x, y) ≤ ρ
2
(x, y) ≤ C
2
ρ
1
(x, y)
  
 

 
ρ
1

ρ
2

   
  
   
'









 

  


 "


  
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) , x
i
∈ R} − n
 !
 

 
 
m
−
"
!

!
  

"
 
&  
c
−
!


 
!


"

 
&  
c
0
−
 

 

!

!


"
 
&  

2
−

 
 
+ 

!

!


"
 
&  

(

2
=
x
= (x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
) :
∞

n
=1
|x
n
|
2
<
∞

.

p
(p ≥ 1) −
 
  
p
−

+ 
  
 

"


!


 
!


"
 
&  

(

p
=
x
= (x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
) :
∞

n
=1
|x
n
|
p
<
∞

.

p
= 1


p
& 
f
 

 
  
 

 
!


 
!


"
 



 
C
[a, b]−
[a, b]

 
 
!

 

 
&  
M
[a, b] −
[a, b]

 
 
!
  

 
&  
C
(1)
[a, b] −
[a, b]

 
 
!

 
g   
!


 
&  
C
(n)
[a, b]−[a, b]

 
 
n
 
 
g   "


!


 
&  
V
[a, b] − [a, b]

 
 
 
!
  

 
&  
AC
[a, b] − [a, b]

 
 
!

 
 

 
&  
L
p
[a, b]−
 !

 


[a, b]



 
(p ≥ 1) p −

+
 
/ 

(

 

!


 

 
&  
L
(0)
p
[a, b] ⊂ L
p
[a, b]
 
 

 

 
&  

 
  
*
f
− g ∈ L
(0)
p
[a, b]

 
 
ϕ
"
 
   
'


 

 

 



L
p
[a, b]

 

 

:

+ 


 
:
&  
L
p
[a, b]
 

 
  

p
= 1

 
[a, b]

 
/ 

(

 

!


 

 
:
&  


 



L
1
[a, b]
 

 




p
= 2

 
[a, b]

 "


 
/ 

(

 

!


 

 

 
:


 



L
2
[a, b]
 

 
'
&

  


 
 

 
 

R
2
&  
x
= (x
1
, x
2
)


y
= (y
1
, y
2
)


!


  


ρ
1
(x, y) = | x
1
− y
1
| + | x
2
− y
2
| ;
ρ
2
(x, y) = | x
1
− x
2
| + | y
1
− y
2
| ;
ρ
3
(x, y) = | x
1
− y
2
| + | x
2
− y
1
| ;
ρ
4
(x, y) = | x
1
x
2
− y
1
y
2
|
 
 






 c
!
"#

ρ
1
 



  
 

"
  
ρ
1
(x, y) ≥ 0


 
;  


!


 
 
ρ
1
(x, y) = |x
1
−y
1
|+|x
2
−y
2
| = 0

 
,
 
|x
1
−y
1
| = |x
2
−y
2
| = 0

 
'
x
1
= y
1
, x
2
= y
2


(
x
= y.
[
x
= y

 

(
x
1
= y
1
,
x
2
= y
2

'


ρ
1
(x, y) = |x
1
− y
1
| + |x
2
− y
2
| = 0

 
   
\ 
#" 

+ 
<
 
ρ
1
(x, y) = |x
1
− y
1
| + |x
2
− y
2
| = |y
1
− x
1
| + |y
2
− x
2
| = ρ
1
(y, x)


%" 

+ 


!

0

 
ρ
1
(x, z) = |x
1
− z
1
| + |x
2
− z
2
| = |x
1
− y
1
+ y
1
− z
1
| + |x
2
− y
2
+ y
2
− z
2
| ≤
≤ |x
1
− y
1
| + |y
1
− z
1
| + |x
2
− y
2
| + |y
2
− z
2
| = ρ
1
(x, y) + ρ
1
(y, z)
 
`" 

+ 


!

2


 

R
2
, ρ
1

=
R
2
1

 

 


ρ
(x, y) = sup
1≤n<∞
|x
n
− y
n
|

x, y
∈ c
0
 



 "

 


!
"#

{x
n
}


{y
n
}

"
 
 

 

!


  
!


 
!
  

 
2

!


sup
1≤n<∞
|x
n
− y
n
|
!

x, y
∈
c
0

!
  

 
 

n
∈ N

|x
n
− y
n
| ≥ 0

 
ρ
(x, y) = sup
n
≥1
|x
n
− y
n
| ≥ 0

 


!

[
ρ
(x, y) = sup
n
≥1
|x
n
− y
n
| =
0

 

 
!

n
∈ N

|x
n
− y
n
| = 0

 
'


x
= y
 


  
*
x
= y

 

 
ρ
(x, y) = 0

 
\ 
#"


+ 


|x
n
− y
n
| = |y
n
− x
n
|
 
%" 

+ 


!

,!

!

 
|x
n
− z
n
| ≤ |x
n
− y
n
| + |y
n
− z
n
| ,
sup
n
(x
n
+ y
n
) ≤ sup
n
x
n
+ sup
n
y
n
  


!

\ 

 
ρ
: c
0
× c
0
→ R
 

!




!

 

+ 


ρ
(x, y) = (x − y)
2
, x, y
∈ R
 





 
 
  
 
!
"#

ρ
(x, y) = (x − y)
2
, x, y
∈ R
 



1−


2−
 
 

'
 

!


!

!

 
 
 

   
'
!


x
= 0, y = 3, z = 5

  
   
,
 
ρ
(x, z) = 25, ρ(x, y) = 9, ρ(y, z) = 4

 
25 = ρ(x, z) > ρ(x, y) + ρ(y, z) = 9 + 4 = 13.


\ 
ρ
!


!

!

 
 


 
X
= AC[0, π],
x
(t) = sin t,
y
(t) = 0

 

x
∈ X


y
∈ X




&
!
"#

AC
[0, π]

 

x


y

  


ρ
(x, y) =
|x(0) − y(0)| + V
π
0
[x − y]
 
 
 
 (  
x
(t) = sin t


[0, π]

 
 
 
%


2

!


x
(t) = sin t


y
(t) = 0

  



-
ρ
(x, y) =
|x(0) − y(0)| + V
π
0
[x − y] = V
π
0
[x] = 2.

()
*
+,
*


*+-
 +

#

-

$
R
 

ρ
(x, y) = | arctgx − arctgy |
 




 "


ρ
1
(x, y) = arctg | x − y|
 

R
&  



  c
%
R
n
&  


 
 



  c
ρ
1
(x, y) =
n

k
=1
| x
k
− y
k
| ;
ρ
2
(x, y) =
##
## max
1≤k≤n
(x
k
− y
k
)
##
##;
ρ
3
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1, agar x = y
0, agar x = y
;
ρ
4
(x, y) =
n

k
=1
sign | x
k
− y
k
| .
&
R
3
 





  

 

 
!

 
3  

5

  
&  
ρ
(x, y) = arccos(x, y) = arccos(x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
)
 




 

 
'
[0, 1]

 
!


!

&  


 
X

 
*
μ
−
 

/ 

 !



 
ρ
(A, B) = μ (A Δ B)
 

X




 

 


.
'!


& 


P
&  
ρ
(p, q) =
∞

i
=0
##
#p
(i)
(0) − q
(i)
(0)
##
#
 




 

 
/
0 
 
&  
N

ρ
1
(n, m) = |e
in
− e
im
|
4
ρ
2
(n, m) =
⎧
⎨
⎩
1 +
1
n
+ m
, agar n
= m
0, agar n = m
;
 
 



 

 

' 
 
&  
Z

ρ
1
(n, m) =
|m − n |
√
1 + m
2
·
√
1 + n
2
;
ρ
2
(n, m) = 10
−k
,
3


k

| n − m |

 


 


n
= m

 
k
= ∞
 
 
  5

 



 

 

,

| z | < 1
 
 

!


 & 
 
&  "

ρ
(z
1
, z
2
) = ln
1 +
##
##
z
2
− z
1
1 − z
2
¯z
1
##
##
1 −
##
##
z
2
− z
1
1 − z
2
¯z
1
##
##
 




 

 
'


1

 
 
  

[a, b]

 
 
x


!





α


β
  
 

+

 
!

t
1
, t
2
∈ [a, b]

!


| x (t
1
) − x (t
2
) | ≤ β · | t
1
− t
2
|
α
 

+ 
x


α
  
:  
 

 
 

  
'
 
 

!

!


 
&"
 
H
α
[a, b]
 

 
 
*
α >
1

 
H
α
[a, b]



  

 



 

 
*
0 < α ≤ 1

 
ρ
(x, y) = max
a
≤t≤b
|x(t) − y(t)| + sup
t
1
=t
2
|(x(t
1
) − y(t
1
)) − (x(t
2
) − y(t
2
))|
|t
1
− t
2
|
α
 

H
α
[a, b]
&  



 

 
H
α
[a, b]
Y
  
 
α
= 1

 
1 
 
  
 
[