[-]

a, b]

 
!
 
 
g   

!


 
&  
C
∞
[a, b]

ρ
(x, y) =
∞

k
=0
1
2
k
·
max
a
≤t≤b
##
x
(k)
(t) − y
(k)
(t)
##
1 + max
a
≤t≤b
##
x
(k)
(t) − y
(k)
(t)
##
 




 

 
$
(X, ρ)

 

 
X
&  
ρ
1
(x, y) =
ρ
(x, y)
1 + ρ (x, y)
;
ρ
2
(x, y) = ln (1 + ρ (x, y)) ;
ρ
3
(x, y) = e
ρ
(x,y)
− 1;
ρ
4
(x, y) = min { 1; ρ (x, y) }
 
 





 

 
###7"##`b"  
ρ
: X×X → R
 



 
 


5 

 
  

%
ρ
(x, y) =
.
n

i
=1
|x
i
− y
i
|
2

x, y
∈ R
n
.
&
ρ
∞
(x, y) = max
1≤i≤n
|x
i
− y
i
| , x, y ∈ R
n
.
'
ρ
1
(x, y) =
n

k
=1
|x
k
− y
k
| , x, y ∈ R
n
.
.
ρ
p
(x, y) =
p
.
n

i
=1
|x
i
− y
i
|
p
,
p
≥ 1, x, y ∈ R
n
.


/
ρ
(x, y) = sup
1≤n<∞
|x
n
− y
n
|

x, y
∈ m.

ρ
(x, y) = sup
1≤n<∞
|x
n
− y
n
|

x, y
∈ c.

ρ
(x, y) =
.
∞

n
=1
|x
n
− y
n
|
2

x, y
∈ 
2
.

ρ
(x, y) =
∞

n
=1
|x
n
− y
n
| , x, y ∈ 
1
.
 
ρ
(x, y) =
p
.
∞

n
=1
|x
n
− y
n
|
p

x, y
∈ 
p
.
$
ρ
(f, g) = max
a
≤x≤b
|f (x) − g (x)|

f, g
∈ C[a, b].
%
ρ
1
(f, g) =
+
b
a
|f(x) − g(x)| dx, f, g ∈ C[a, b].
&
ρ
2
(f, g) =
/+
b
a
|f(x) − g(x)|
2
dx, f, g
∈ C[a, b].
'
ρ
p
(f, g) =
p
/+
b
a
|f(x) − g(x)|
p
dx, p
≥ 1, f, g ∈ C[a, b].
.
ρ
(x, y) = max
a
≤t≤b
|x (t) − y (t)| + max
a
≤t≤b
|x

(t) − y

(t)| , x, y ∈ C
(1)
[a, b].
/
ρ
(x, y) = |x(a) − y(a)| + V
b
a
[x − y], x, y ∈ V [a, b].

ρ
(x, y) = |x(a) − y(a)| + V
b
a
[x − y], x, y ∈ AC[a, b].

ρ
(f, g) =
+
b
a
|f(x) − g(x)| dx, f, g ∈ L
1
[a, b].

ρ
(f, g) =
/+
b
a
|f(x) − g(x)|
2
dx,
f, g
∈ L
2
[a, b].
 
ρ
(f, g) =
p
/+
b
a
|f(x) − g(x)|
p
dx, p
≥ 1, f, g ∈ L
p
[a, b].
_


  
 
 


  
   -
(R
n
, ρ
1
) = R
n
1
,
(R
n
, ρ
p
) = R
n
p
,
(R
n
, ρ
∞
) = R
n
∞
,
(R
n
, ρ
) = R
n
.
(C[a, b], ρ
1
) = C
1
[a, b], (C[a, b], ρ
2
) = C
2
[a, b], (C[a, b], ρ
p
) = C
p
[a, b].
##`a"##b`"  
ρ
: X × X → R
 





 
 
  
 


$
ρ
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
0, x = y
EKU K
(x, y), x = y
, x, y
∈ N.
%
ρ
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
0, x = y
EKU B
(x, y), x = y
, x, y
∈ N.
&
ρ
(x, y) = | sin x − sin y| , x, y ∈ R.
'
ρ
(x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0, x = y
1, x < y
2, x > y,
x, y
∈ R.
.
ρ
(x, y) = |x
1
− y
2
| + |y
1
− x
2
| , x, y ∈ R
2
.
 /
ρ
(x, y) = |x
1
− y
1
| + 2 |x
2
− y
2
|
2
, x, y
∈ R
2
.
 
ρ
(x, y) = |x
1
− y
1
| + |x
2
− y
2
| , x, y ∈ R
3
.
 
ρ
(f, g) = |f (0) − g (0) | + |f (1) − g (1) | , f, g ∈ C[0, 1].
 
ρ
(x, y) =
∞

n
=1
|x
n
− y
n
|
2

x, y
∈ 
2
.
##bb"##aW"  
x
∈ X


y
∈ X



"

&
 

  
 



 
, 
###7"##`b
 

 
  
X
= N, x = 5, y = 25, ρ (x, y) = 0, 1 · |x − y| .
 $
X
= R
3
,
x
= (8, 4, 3), y = (6, 0, −1).
 %
X
= R
4
∞
,
x
= (−1, −2, 3, 0), y = (4, 2, 0, −2).
 &
X
= R
4
1
,
x
= (4, 5, 0, 1), y = (−3, 0, 2, 7).
 '
X
= P
≤n
, x
(t) = 1 + t, y(t) = 2t,
ρ
(x, y) =
1
+
0
|x(t) − y(t)| dt.
 .
X
= C[0, π],
x
(t) = sin t,
y
= cos t.

$/
X
= C
2
[−π, π],
x
(t) = e
it
,
y
(t) = e
−it
.
$
X
= m,
x
n
= (− 1)
n
, y
n
=
n
n
+ 1
.
$
X
= c,
x
n
=
n
+ 1
n
,
y
n
= 1 − (−1)
n
1
n
.
$
X
= c
0
,
x
n
= 2
2−n
,
y
n
= −2
1−n

$ 
X
= 
2
,
x
= (1, 1, 0, 1, 0, 0, ...),
y
= (0, 0, 0, ...) .
$$
X
= L
1
[0, π], x(t) = sin t,
y
(t) = cos t.
$%
X
= L
2
[0, π], x(t) = sin t,
y
(t) = cos t.
$&
X
= V [−π, π],
x
(t) = cos t,
y
(t) = 1.
$'
X
= M[0, 2π], ρ(x, y) = sup
0≤t≤4
|x(t) − y(t)| , x(t) = t, y(t) = sin t.
9
!
2-
*
#

*

,-"-

0
"0
"0
X

 

x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .

"



x

 

 

 
*
lim
n
→∞
ρ
(x
n
, x
) = 0


+ 
{x
n
}

"

x

 
 
  
x

 

{x
n
}

"

 
  
*
 

ε >
0
!





N
ε
 


+

 
!

n > N
ε


m > N
ε

!


ρ
(x
n
, x
m
) < ε
 

+ 

 
{ x
n
}

  
  
  

*
lim
n
→∞
ρ
(x
n
, x
0
) = 0


lim
n
→∞
ρ
(x
n
, y
n
) = 0

 

 
lim
n
→∞
ρ
(y
n
, x
0
) = 0

 

 


  

#


`"  

 
0 ≤ ρ (y
n
, x
0
) ≤ ρ (y
n
, x
n
) + ρ (x
n
, x
0
)
 



   
'
 
 
  
 
lim
n
→∞
ρ
(y
n
, x
0
) = 0

   



x
n
(t) = n
2
t
· e
−n t

 

"

x
(t) = 0





 

 

!

 
C
1
[0, 1]

 


 

!




 




t
∈ [0, 1]
!


lim
n
→∞
x
n
(t) = 0
 
  
 

(  
\ 
x
n
(t)

 

"

x
(t) = 0

"




 

 
[
ρ
1
(x
n
,
0)

 
  
ρ
1
(x
n
, x
) =
1
$
0
|x
n
(t) − 0| dt =
1
$
0
|x
n
(t)| dt =
1
$
0
n
2
te
−nt
dt
= 1 − (n + 1)e
−n
.

 
 

  

 
 

  
'


lim
n
→∞
ρ
1
(x
n
, x
) = 1

   
\ 
{x
n
}

"

x
(t) = 0


C
1
[0, 1]
 



 

!



()
*
+,
*


*+-
 +

#

-


(X, ρ)

 
 

x, y, z, t

  
!


5
| ρ (x, z) − ρ (y, t) | ≤ ρ (x, y) + ρ (z, t) ;
5
| ρ (x, z) − ρ (y, z) | ≤ ρ (x, y)
  

 
 
{x
n
}

"


 

 
*
lim
n
→∞
ρ
(x
2n
, a
) = 0,
lim
n
→∞
ρ
(x
2n+1
, b
) = 0


lim
n
→∞
ρ
(x
n
, c
) = 0

 
a
= b = c
 
lim
n
→∞
ρ
(x
n
, a
) = 0
 

 
$
C
[0, 1]

 



5
x
n
(t) = t
n
− t
n
+1
;
5
y
n
(t) = t
n
− t
2n
;
!5
z
n
(t) = t
n
− 2t
n
+1
+ t
n
+2
;
5
u
n
(t) =
t
n
n
−
t
n
+1
n
+ 1

"
 

 

!


  c


%
. 
 

 

"

C
(1)
[0, 1], C
1
[0, 1]

  

 

!


  c
&
C
1
[0, 1]

 


 

!

 
C
[0, 1]

 


 

!


 
x
n
(t)
 

 

"

"



'
C
1
[0, 1]

 

x
(t) = 0



 

!

 
 !


t
∈ [0, 1]

 
>


  


 

"




.
*
x
n
(t)
 

 

"

C
[0, 1]

 

x
(t)



 


"

C
1
[0, 1]


C
2
[0, 1]

  



x
(t)



 

 
/
C
[0, 1]

 


 

!

 
C
(1)
[0, 1]

 


 

!


 
 
g   

!


 
"


"






,

5
x
n
= (1, 2, . . . , n, 0, . . .) ;
5
y
n
= (−1, 2, . . . , (−1)
n
n,
0, . . .) ;
!5
z
n
= (1, 1, . . . , 1,
0
12
3
n
0, . . .);
5
u
n
=

1,
1
2
, . . . ,
1
n
,
0, . . .

;
5
e
n
= (0, . . . , 0, 1
0 12 3
n
,
0, . . .);

5
w
n
= (
1
n
α
, . . . ,
1
n
α
,
0
12
3
n
0, . . .); α > 0

"
 

 
c
0
, c


p

m

  

"


!


 

R



ρ
(x, y) = | arctg x − arctg y |
 
 
 

 
,
 
 

 

"

3  
x
n
= n
5
"
 
 

 



'
 

"


 

!


 
 


"



 

!


 
 
'

 
ε >
0

!


ρ
(x
k
, x
m
) ≥ ε > 0, k = m
 
 

!

{x
n
}

"


 

!



 
"


 

"


+ 
 
 


 
$
(X, ρ)

 
{x
n
}

{y
n
}


 
 


"

 

 
,
 
{a
n
=