[-]

x) ≥ 0

 

 
+
A
f
(x)dμ ≥ 0
/

 

+  

&
*5
*
μ
(A) = 0

 

 
+
A
f
(x)dμ = 0
'5
+
A
[f(x) + g(x)]dμ =
+
A
f
(x)dμ +
+
A
g
(x)dμ
d5
+
A
k
· f(x)dμ = k
+
A
f
(x)dμ
\5
*
f
(x) ≥ 0

 

 
+
A
f
(x)dμ ≥ 0


 
  

&
*5
*
μ
(A) = 0

 

 
+
A
f
(x)dμ = 0


'5
+
A
[f(x) + g(x)]dμ =
+
A
f
(x)dμ +
+
A
g
(x)dμ
d5
+
A
k
· f(x)dμ = k
+
A
f
(x)dμ
\5
*
f
(x) ≥ g(x)

 

 
+
A
f
(x)dμ ≥
+
A
g
(x)dμ

/ 


 
  


 

 
!



 
&
a
0
= 0, a
1
=
+
(0, 1)
sin
2
x
x
dμ, a
2
=
+
(0, 1)
sin
4
x
x
3
dμ, a
3
=
+
(0, 1)
sin xdμ
*5
a
1
'5
a
2
d5
a
3
\5
a
0

A
= [0, 3]
&  

 
f
(x) = 3 + D(x)





 
 
*5
3
'5
2
d5
7
\5
9
 
A
= [0, 2]
&  

 
f
(x) = 4 − [x]





 
 
*5
3
'5
7
d5
6
\5
4
$
[−2, 2]

 

 
 


&
*5
f
(x) = cos x
'5
f
(x) = [x]
d5
f
(x) = e
x
2
\5
f
(x) = sin x
%
f
(x) = [x], x ∈ [−2, 2]
&





  

  
"
&
*5
{−1; 0; 1}
'5
{−1; 0; 1; 2}
d5
{−1; 1}
\5
{−2; −1; 0; 1}
&
[0, 3]

 
 
&


 

 

 
f
1
(x) = x, f
2
(x) = 1, f
3
(x) = [x]
*5
f
1
, f
2
, f
3
'5
f
2
, f
3
d5
f
1
, f
2
\5
f
1
, f
3
'
[0, 1]

 

!


 

 
f
1
(x) = − cos x, f
2
(x) = sin x,
f
3
(x) = 1 + [x]
*5
f
1
, f
2
, f
3
'5
f
2
, f
3
d5
f
1
, f
2
\5
f
1
, f
3


.
[−1, 1]

 
 


 

 
f
1
(x) = cos x, f
2
(x) = (1 − x)
2
,
f
3
(x) = 1 − [x]
*5
f
1
, f
2
, f
3
'5
f
2
, f
3
d5
f
1
, f
2
\5
f
1
, f
3
/
[0, 1]

 

 

!


 

 
f
1
(x) = sin x, f
2
(x) = [x], f
3
(x) = cos x
*5
f
1
, f
2
, f
3
'5
f
2
, f
3
d5
f
1
, f
2
\5
f
3

f
(x) = signx


x
0
= 0

 

&
*5
%
'5
>
d5
#
\5
`

f
(x) = [x]


x
0
= 0

 
!
&
  
&
*5
%
'5
>
d5
−1
\5
#

f
(x) = 2x − {x}


 
 






 

 

 
*5
x
+ [x]
'5
x
− [−x]
d5
2x + [x]
\5
{x} + [x]
 
f
(x) = [2x]


[−2, 3]

 
 
&
*5
`
'5
a
d5
#>
\5
7
$
f
(x) = sin x


[−π, π]

 
 
&
*5
%
'5
b
d5
#
\5
a
%
[−2, 2]

 

 
 
 


&
*5
{x}
'5
[x]
d5
e
x
2
\5
signx
&
[−2, 2]

 
 
 

 


&
*5
x
'5
[x]
d5
e
x
2
\5
sin πx
'
[0, 1]

 

 
 



&
*5
cos x
'5
R(x)
d5
D(x)
\5
K(x)


.
/ 
"2  

 
 

 
f
(x) = x

"

A
= [0, 3]
& 

!

 
+
A
f
(x) dF (x), F (x) = [x]

 
 
*5
%
'5
`
d5
b
\5
7
 /
/ 
"2  

 
 

 
f
(x) = 2x
"


A
= [1, 3]
& 

!

 
+
A
f
(x) dF (x), F (x) =
ln x

 
 
*5
%
'5
`
d5
b
\5
7




#

-
5
*

*

0
 
%
§

 #

*
,-0)


. !



 

 !

 
 
 !




 
 
1
 
 
 
 
f


g


(f + g) (x)
= 1, x ∈ [0, 1]

 

 !

 

. !



 

&
 
 !

 
 
 !




 
 
1
 
 
 
 
f


g

 

&
 
f
(x) · g(x) = 0, x ∈ [0, 1]

 

 !

 

  

 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
1,
x
∈ A
−1, x ∈ [0, 1] \A,



A
⊂ [0, 1]
 !


&  
$
#b


&
7#W
f
 

 
L(x)


'


a
∈ R

{x ∈ R : L(x) = a}
& 

&
 



& 

 
 

L(x
1
) = L(x
2
)

 
*
x
1
, x
2
∈ A

 

 
L(x
1
) = L(x
2
)
 
x
1
= x
2


!



"


x
1
, x
2
∈ A

 

 
L(x
1
) = L(x
2
)
 
−x
1
= −x
2


x
1
= x
2


!

*
x
1
∈ A


x
2
∈ A

 

 
L(x
1
) = L(x
2
)


 
x
1
= −x
2


!

2


 
{x ∈ R : L(x) = a}
& 
a
∈ A \ {0}
!





&  
 
a

!





& 

 
2

!



{x ∈ R : L(x) = a}
 !

 
&  
.
{x ∈ [0, 1] : L(x) < 0} = [0, 1] \ A
 
 
A
 !


& 

 
!


[0, 1] \ A

 !

 

/
'!

x
∈ [−1, 0]

L(x) ≥ 0

  
!


{x ∈ [−1, 1] :
L(x) < 0} = [0, 1] \ A
 
 

 
3#$"  
5
[0, 1] \ A
 !



 
!


L


E

 !





 

K
−1
(K
1
) =

1
2

,
K
−1
(K
2
) =

1
4
,
3
4

,
K
−1
(K
3
) =

1
8
,
3
8
,
5
8
,
7
8

,
K
−1
(K
n
) =

2k − 1
2
k
, k
= 1, 2, . . . , 2
n
−1

.
 
A
⊂ [−2, 2]
 !


& 
χ
A
(x) =
⎧
⎨
⎩
1,
x
∈ A
0, x ∈ [−2, 2] \A.
$
A
⊂ [−2, 2]
 !


& 
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
1,
x
∈ A
−1, x ∈ [−2, 2] \A.
&
A
⊂ [0, 1] = E
 !


& 


f
(x) = χ
A
(x), g(x) = χ
E
\A
(x)
 !

 



f
(x) + g(x) = 1.
'
A
⊂ [0, 1] = E
 !


& 
f
(x) = χ
A
(x), g(x) = −χ
E
\A
(x)

f
(x) · g(x) ≡ 0, x ∈ E,
.
E
(D < c) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∅, c ≤ 0
E
\Q, 0 < c ≤ 1
E, c >
1.
%
*
f
: E → R
 !

 



 
{x ∈ E : f(x) < a} =
{x ∈ E : f
3
(x) < a
3
}
 
f
3
 !

 



 


!

d

a

−∞

+∞
!


 
  

 
a
3

(−∞, ∞)
&  
 


 
{x ∈ E : f
3
(x) < c} = {x ∈
E
: f(x) < c
1
3
}
 
 
\ 
f


f
3



 
 !

 




 !



 

 
 
[ 

 
e
ix
= cos x + i sin x

 
cos x


sin x

[−π, π]

 
 !

 

 
f
(x) = e
ix


[−π, π]
&  
 !

 

 
   
 .
[0, 1] = A ∪ B
 

   
A


B
 !

 
&  


μ
(A) > 0, 5;
μ
(B) = 0, 5. A


B


 

'"
!

x
∈ [0, 1]


 

δ >
0
!


μ
(A ∩ (x − δ, x + δ)) > 0


μ
(B ∩ (x − δ, x + δ)) > 0

 
,
 
χ
A
(x)

 
 "


!




 
$'
[0, 1]

 

n

 


   


n
∈ N
!


{χ
[
k−1
n
,
k
n
]
(x)}
n
k
=1
  

 
 

  
'

 
 
!

  
  
f
1
(x) = χ
[0, 1]
(x), f
2
(x) = χ
[0,
1
2
]
(x), f
3
(x) = χ
[
1
2
,
1]
(x)



 

ν
!


f
ν
(x) = χ
[0,
1
n
]
(x), f
ν
+1
(x) = χ
[
1
n
,
2
n
]
(x), . . . , f
ν
+n−1
(x) = χ
[
n−1
n
,
1]
(x), . . .


 
f
n

"

[0, 1]

 !



!





"




 

 

  

%/
E
(f < c) = {x ∈ [−1, 2] : sign x < c}
&  
!

c
∈ R

 !

 

 

 
% 
E
δ
=

ε
10
3
, π
−
ε
10
3
  
π
+
ε
10
3
,
2π −
ε
10
3

, ε
∈

0,
1
4

.
%$
ϕ
(x) = 0, x ∈ [0, 1] .
%%
f
(x) = 0, x ∈ [0, 1) , f
n
(x) = x
n
, x
∈ [0, 1) .
%&
f
n
(x) = x
n
, x
∈ [0, 1]


"

θ
(x) ≡ 0


 "

 


 !



!


 

  

  



%'

%.
_

&/
5
g
(x) ≡ 0, b) g(x) = π, c) g(x) = 0, d) g(x) = ln(1 + |x|).
&
5
g
(x, y) = x
2
, b
) g(x, y) = cos x − sin y, c) g(x, y) = xy,
d
) g(x, y) = chx.
& 
5
g
(x) ≡ 0,
5
g
(x) ≡ 0,
!5
g
(x) ≡ 0,
5
g
(x) ≡ 1,
5
g
(x) ≡ 0,

5
g
(x) ≡ 0.
&$
5
g
1
(x, y) ≡ 0, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1, (x, y) ∈ Q × Q
0, (x, y) /
∈ Q × Q
.
5
g
1
(x, y) ≡ 0, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1, (x, y) ∈ Q × Q
0, (x, y) /
∈ Q × Q
.
!5
g
1
(x, y) ≡ 0, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1, (x, y) ∈ R × Q
0, (x, y) /
∈ R × Q
.
5
g
1
(x, y) ≡ 1, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1, (x, y) /
∈ Q × Q
2, (x, y) ∈ Q × Q
.
5
g
1
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
|x|, |x| ≥ |y|
|y|, |x| < |y|
, g
2
(x, y) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
|x|, |x| > |y|
|y|, |x| < |y|
0, |x| = |y|
.

5
g
1
(x, y) = | x | + | y | , g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
0, x = y
|x| + |y|, x = y
.
5
g
1
(x, y) = e
x
, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
e
x
, x