[-]

= −y
0, x = −y
.
5
g
1
(x, y) = 1, g
2
(x, y) =
⎧
⎨
⎩
0, x
2
= y
2
1, x
2
= y
2

&%
5
A
ε
=

1
50
, π
−
1
50

∪

π
+
1
50
,
2π −
1
50

.
5
A
ε
=

0, 1 −
1
101


!5
A
ε
=

1
1001
,
1

.
5
A
ε
=

10
−4
2
,
1


5
A
ε
=

1
5 · 10
5
− 1, −
1
5 · 10
5

∪

1
5 · 10
5
,
1 −
1
5 · 10
5





5
A
ε
=

0, 2 −
1
2 · 10
6

.
&&
2
μ
(R) = ∞.
&'&.
f
(x) ≡ 0

'/
f
(x) ≡ 0

'$
_

&9
"0
 #

*
 
"
"4
-
"4

  


 
>


#
  

 
8#"  


A
1
= {x ∈ E : χ
A
(x) = 0} = E\A,
A
2
= {x ∈ E : χ
A
(x) = 1} = A
&  
 !

 

 
χ
A

 !

 





 


!

 
A
1
= {x ∈ E : sign x = −1} = [−1, 0), A
2
= {x ∈ E : sign x = 0} =
{0}

A
3
= {x ∈ E : sign x = 1} = (0, 3]
&  
 !

 

 "

y
= sign x

E






 


!

%
K : [0, 1] → R
 !

 


7%`"  


K


[0, 1] \K

 !

 



 


n
∈ N
!


K
n

38%" 

!
 
5
K


!
   
 

 
2

!


K


∞
∪
n
=1
K
n
= [0, 1] \K


  
 

 
 





'
5
∞

n
=1
n
· 2
n
−1
3
n
. b
)
1
4
.
 
f
n
(x) =
[nK(x)]
n
.
%
'


y
1
= 0, y
2
= 1, y
3
= 2, y
4
= 3, y
5
= 4,
  



A
1
= [0, 1), A
2
= [1, 2), A
3
= [2, 3), A
4
= [3, 4), A
5
= [4, 5)
&  

 
,

 
8%" (


10


'
4π
3

.
\


 !

 


 
(0


1)
 

 
,
[0, 3]
& 

!

 

 
0


/
Z 


 !

 



  

0, 1,
1
2
, . . . ,
1
n
, . . .

 
"

 
,
[0, 1]
& 

!

 

 
0



3


2


1

 
1

$
4

%
3
2
.
&
e
− 2

$%
8a"  

$&
5 −
√
2 −
√
3.
$'
.  
 
 







 
 



$.

 





 

 
0


%/
12

%
0

%
2

%
−6

% 
4
ln 2
+ 5

%$
e
+
1
2
.
%%
5
>
5
ln 4 − 1,
!5
7
5
5 + 3
√
2 +
√
3
2
.
%&
5
1
2
,
5
6,
!5
10,
5
2
ln 2
+ 1,
5
ln 3 + e,

5
1
2
,
5
1
2
,
5
1
2
,
5
1,
+5
5
16
,
5
0.
'9
"
"4
-
"4

"4

4
 

5
_

5
_

!5
_

5
_

5


5

 
5
0,
5
1,
!5
0,
5
π.
%
5
α >
1,
5
α >
1,
!5
α >
2.
&
α >
1.
'

/
5
π,
5
π
2
.


.9
--
*

 +4
#
"4-4-
,-0)

/
= 
 




  
  

  
0, 1,
2, 3

'!

  

  

1



= 
 




x
= 0

 
  

x
= 0


 
!
&


 

x
= 0

 

2



= 
 




x
= 0

 
  

x
= 0

!
&

  
  

 

1



[−4, 0)



[0, 5]


 
 



'


  

  
x
= −1, x = 0. x = −1

 

 




 

3


x
= 0


 
!
&


 



x
= 0

 

1


&
f
d
(x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0, x ∈ [−2, −1)
1, x ∈ [−1, 0]
2, x ∈ (0, 2],
f
c
(x) = x − 1.


'
f
d
(x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0, x ∈ [−10, −2)
1, x ∈ [−2, 0)
5, x ∈ [0, 4],
f
c
(x) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
3
, x
∈ [−10, −2)
−8, x ∈ [−2, 0)
x
− 8, x ∈ [0, 4].
.
f
d
(x) =
⎧
⎨
⎩
0, x ∈
,
−
π
2
,
0

1, x ∈
,
0,
π
2
-
,
f
c
(x) =
⎧
⎨
⎩
sin
3
(x) − 1, x ∈
,
−
π
2
,
0

sin
2
−1, x ∈
,
0,
π
2
-
.
/
f
(x) = f
c
(x) + f
d
(x), f
d
(x) = [x] + 2, f
c
(x) = 2x − 2

.
  

 

 

  
 
/
  

 

&
 
 

  
 




$ 
`7
V
[f] = 6,
`8
V
[f] = 20,
`W
V
[f] = 2,
`$
V
[f] = 8,
b>
V
[f] = 2,
b#
V
[f] = ln(1 + e),
b%
V
[f] = 32
3
4
,
b`
V
[f] = e
2
+ 1,
bb
V
[f] = 6.
$$
2
∨
0
[f] = 3,
2
∨
0
[g] = 7.
$%
2
∨
0
[f] = 4+|a|+|1 − a|
!

a
∈ [0, 1]

2
∨
0
[f]
 

 
%/
f
(x) = v(x) − ϕ(x), v(x) = ∨
x
a
[f]

v
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
sin x, x ∈
,
0,
π
2
-
2 − sin x, x ∈

π
2
, π
-

ϕ
f
(x) =
⎧
⎨
⎩
2 sin x − 1, x ∈
,
0,
π
2
-
1,
x
∈

π
2
, π
-
v
g
(x) =
x
∨
0
[g] = 1 − cos x, x ∈ [0, 2π]

ϕ
g
(x) = |cos x| + cos x

v
φ
(x) =
=
⎧
⎨
⎩
4 − (x − 2)
2
, x
∈ [0, 2]
4 + (x − 2)
2
, x
∈ (2, π]
, ϕ
φ
(x) =
⎧
⎨
⎩
4 − 2(x − 2)
2
, x
∈ [0, 2]
4,
x
∈ (2, π].
v
ψ
(x) =
⎧
⎨
⎩
sin
2
x, x
∈
,
0,
π
2
-
2 − sin
2
x, x
∈

π
2
, π
- , ϕ
ψ
(x) =
⎧
⎨
⎩
0,
x
∈
,
0,
π
2
-
2 − 2 sin
2
x, x
∈

π
2
, π
-
%
{36. v(x) = 3x, ϕ(x) = −1.
37. v(x) =
⎧
⎨
⎩
2 − 2x
2
, x
∈ [−1, 0]
2 + 2x
2
, x
∈ (0, 3],
ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
−4x
3
− 3, x ∈ [−1, 0]
−3, x ∈ (0, 3].
38. v(x) =
⎧
⎨
⎩
sin x, x ∈
,
0,
π
2
-
2 − sin x, x ∈

π
2
, π
-
,
ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
0, x ∈
,
0,
π
2
-
2 − 2 sin
2
x, x
∈

π
2
, π
-
.


39. v(x) =
⎧
⎨
⎩
2 cos x + 2, x ∈ [−π, 0]
6 − 2 cos x, x ∈ [0, π],
ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
2, x ∈ [−π, 0]
6 − 4 cos x, x ∈ [0, π].
40. v(x) = tgx + 1, ϕ(x) = 1.
41. v(x) = ln(1 + x), ϕ(x) = 0.
42. v(x) = 2
x
+ 5x + 9
3
4
, ϕ
(x) = 9
3
4
.
43. v(x) = xe
x
+1
+ 1, ϕ(x) = −4.
44. v(x) = 3 + 3(x − 1), ϕ(x) = 3x − 4 − 3 |x − 1| } .
%
λ
l
= −β, ∧
l
= −α, λ
r
= a, ∧
r
= b

%
_

3$7a
f
 
5
% 
*
f


[a, b]

 
!
  
 


 

 
f

[a, b]

 
 
!
  

 

 
%.
A


& 

 
A
= [a, b]

 
b
∨
a
[χ
A
]
 

 
/9
)
+0+
,-0)

"
"48"
-
"4
'
n

k
=1
|f(b
k
) −f(a
k
)| =
n

k
=1
|3b
k
+ 1 −3a
k
−1| = 3
n

k
=1
(b
k
−a
k
) < 3δ


δ
=
ε
3
 
n

k
=1
|f(b
k
) − f(a
k
)| < ε
 

+ 
\ 
f
(x) = 3x + 5


[0, 2]

 
 
 




.
a
2
− b
2
= (a − b)(a + b)


 
#>#" 

!
 

/
|sin x − sin y| ≤ |x − y|


 

|| cos x| − | cos y|| ≤ |cos x − cos y| ≤ |x − y|


 
%
' 

 
x
k
= 1



 
  

{8. v(x) = 3x, ϕ(x) = −1.
9. v(x) = x
2
, ϕ
(x) = −3.
10. v(x) =
⎧
⎨
⎩
sin x, x ∈
,
0,
π
2
-
2 − sin x, x ∈

π
2
, π
-
,
ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
0, x ∈
,
0,
π
2
-
2 − 2 sin
2
x, x
∈

π
2
, π
-
.
11. v(x) =
⎧
⎨
⎩
2 + 2 cos x, x ∈ [−π, 0]
6 − 2 cos x, x ∈ (0, π],


ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
2 + 2 cos x − 2 |cos x| , x ∈ [−π, 0]
6 − 2 cos x − 2 |cos x| , x ∈ (0, π].
12. v(x) = tg
x
4
+ 1, ϕ(x) = 1.
13. v(x) = x ln(1 + x), ϕ(x) = 0.
14. v(x) = 2
x
+ 5x + 4, 5, ϕ(x) = 4, 5.
15. v(x) =
⎧
⎨
⎩
1 −
√
−x x ∈ [−1, 0]
1 + √x x
∈ (0, 1],
ϕ
(x) =
⎧
⎨
⎩
1 − 2
√
−x x ∈ [−1, 0]
1 + x ∈ (0, 1],
#7
v
(x) = 3x, ϕ(x) = 3x − 3|1 − x| − 4.}
/
f
(x) = K(x), A = [0, 1] \K.

f
(x) = K(x), A = K.
%
=

&





$/
#
$
`
$ 
#5
−π,
%5
b
`5
25
1
3
,
b5
n
(n + 1)
2
,
a5
n
(n + 1)(2n + 1)
6
,
75
2e
−π/2
− 2e
π
/2
− (1 + π)e
π
+ (1 − π)e
−π
,
85
2 − π,
W5
3
8
,
$5
%
#>5
#





0
"4-
"
5
*

#"\
%"\
`"'
b"'
a"'
7"'
8"*
W"*
$"'
#>"d
##"\
#%"'
#`"*
#b"'
#a"'
#7"\
#8"'
#W"d
#$"'
%>"d
%#"\
%%"d
%`"\
%b"'
%a"'
%7"'
%8"'
%W"d
%$"'
`>"d
`#"*
`%"d
``"*
`b"d
`a"'
`7"d
`8"'
`W"\
`$"\
b>"d





6
1
> 
'


8
&
3##"#85


 
'
##"&;

"
 



!
 

 

!


!




  
+ 
#%"&

 

!



 


"

 

 
 
#`"&

!




&
 
 "


!




&
&  
 


 
"
 
#b"&
 

  



  
 

 
 
'


' 
 
 
 
 


!



 !



!
 
&  

  
 


#a"&

  
 
 
 
 
  
  

  

 
+ 
#7"&
"

 

&&
 

 
 
=
 &
&  



 &

  

 
#8"&
+ "

9
"0
,+
'
&

  


!
 


(:

  
X



 
&