§ Affin va Evklid fazolarida k -tekisliklar geometriyasi

P _l va tekisliklar kesishishini isbotlaylik . E'tibor bering, tekislik P _l ga parallel emas , chunki aks holda u yoki yoki, P _k va P _l tekisliklarining joylashuvi shartiga zid keladi .
Endi buni isbotlaymiz va P _l kesishmaydi. Keling, nuqtani ko'rib chiqaylik C yordamchi r -P _r ga parallel o'lchovli tekislik _. U holda va shuning uchun P _k P _l ni kesib o'ta olmaydi , chunki aks holda ularning kesishish nuqtasi P _r va parallel tekisliklarga tegishli bo'lar edi . Shuning uchun u P _l bilan kesishadi . 2-teorema isbotlangan.
n o‘lchamli affin fazoga U n _yo‘nalish pastki fazolari L _k bilan kesishuvchi P _k va P _l tekisliklar berilsin. va L _l , va


, .


Teorema 3. P _k va P _l tekisliklarni o'z ichiga olgan o'lchamdagi yagona P _{r +1} tekislik mavjud .
Isbot. Keling, ixtiyoriy nuqtani olamiz va ixtiyoriy nuqtani tuzamiz ; vektorning chiziqli korpusi bilan belgilang (16-rasm). Faraz qilaylik, P _k va P _{l ni} o'z ichiga olgan qandaydir tekislik mavjud ; uning yo'naltiruvchi pastki fazosi bo'lsin . Shubhasiz, uning tarkibida L _k , L _l bo'lishi kerak va , va shuning uchun bu pastki bo'shliqlar yig'indisi. Bu summani L _{r +1} bilan belgilaymiz :

Aksincha, agar L _{r +1} ni o'z ichiga olgan har qanday pastki fazo bo'lsa , u holda A nuqtadan yo'nalishda o'tish P _k va P _{l ni} o'z ichiga oladi _. Aslida, beri va , keyin ; beri , keyin , beri va , keyin .

Guruch. 21

Barcha tekisliklar orasida biz L _{r +1 tekislik sifatida} qabul qilingan yagona holatda r + 1 minimal o'lchamdagi kerakli P _{r +1} tekislikni olamiz _. Keling, hisoblaymiz r + 1. Buning uchun o'lchamni ko'rib chiqing va p bilan belgilang . 3-teorema bo'yicha ( n -o'lchovli L fazoda L _k va L _l kichik fazolar mavjud bo'lib , ularning o'lchamlari mos ravishda k va l ga teng . Agar ularning kesishishi m o'lchamga ega bo'lsa , u holda ularning L _k + L _l yig'indisining o'lchami r ga teng bo'ladi. = k + l – m ) bizda p = k + l – m .

ko'rsatamiz , shuning uchun L _{r +1} o'lchami p ga teng + 1, ya'ni ( r + 1) = ( k + l – m ) +1.
bo'shliqqa tegishli emasligini ko'rsatish kifoya . Buning aksini faraz qilaylik. Mayli . Keyin, pastki bo'shliqlar yig'indisining ta'rifiga ko'ra, x va y vektorlari mavjud bo'lib , , , . ( v ) Affin fazoning birinchi aksiomasi bo'yicha nuqta mavjud Bu bilan , va . Affin fazoning ikkinchi aksiomasi bo'yicha . ( vv )
v ), ( vv ) ni hisobga olib , shuni topamiz , shuning uchun . Aniqlanishicha, P _k va P _{l tekisliklari} umumiy nuqtaga ega C , lekin bu mumkin emas, chunki P _k va P _l tekisliklari kesishadi. 3-teorema isbotlangan.
Eslatma . 20-rasmda 3-teorema faqat qisman tasvirlangan. Masalan, agar P _k va P _l o‘lchamlari m dan katta bo‘lsa va bir-biridan farq qilsa, qanday qilib,
P _k va P _l tekisliklari r dan kichikroq o'lchamli tekislikda mavjud emas. + 1.
Oldingi bo'limning yozuvini saqlab, biz ikkita tekislikning kesishishi uchun etarli shartni tuzamiz.
Teorema 4. Agar U _n tekisliklarda P _k va P _l shunday berilgan bo'lsa , bu erda m - L _k va L _l yo'nalish pastki fazolarining L _m kesishish o'lchami , u holda P _k va P _l kesishadi.
Isbot. Bu samolyotlarning har biri butun makonga to'g'ri keladigan arzimas holatlar bundan mustasno , u bor
Ushbu ikkita samolyotni joylashtirishda faqat uchta imkoniyat bo'lishi mumkin:
yoki P _k P _l ga parallel ;
yoki P _k va P _l tekisliklari chatishtirish;
yoki ular kesishadi.
Agar P _k P _l ga parallel bo'lsa , u holda L _k va L _l mos keladigan bo'shliqlar kesishuvining m o'lchami uchun bizda m = min bo'ladi. ( k , l ). Teorema isbotlangan.
k -tekisliklar kollektorining o'lchami
k -tekisliklar xilma-xilligining R _{n , k} o'lchamini topamiz
n - bo'shliqlar .
Avvalo shuni ta'kidlaymizki, k +1 nuqtalar M ₀ , M ₁ , …, M _{k bog'liq} bo'lgan parametrlar soni. n - bitta k -tekislik o'tadigan chiziqli mustaqil vektorli bo'shliqlar bu nuqtalarning koordinatalari soniga teng , ya'ni ( k +1) n . Keyinchalik, k -tekislikdagi bir xil nuqtalar bog'liq bo'lgan parametrlar soni ushbu nuqtalarning parametrlari soniga teng ekanligini ta'kidlaymiz, ya'ni ( k +1) k . n -fazoda nuqtalar bog'liq bo'lgan parametrlar soni R _{n , k soni va} k -tekislikdagi nuqtalar bog'liq bo'lgan parametrlar soni yig'indisiga teng bo'lganligi sababli , biz shuni olamiz.


, ya'ni.
. (6.7)