§ Affin va Evklid fazolarida k -tekisliklar geometriyasi

P _k va P _l tekisliklari P _m tekislik bo‘ylab kesishsa , unda P _k va P _l ni o‘z ichiga oluvchi yagona P _r tekislik , o‘lchami r = k + l – m bo‘ladi va undan kichikroq o‘lchamli P tekislikda bo‘lmaydi. _k va P _l bir vaqtning o'zida sig'maydi. P _r tekislikning L _r yo'nalishi pastki fazosi L _k va L _l yo'nalish pastki fazolarining yig'indisidir . Bu summa to'g'ridan-to'g'ri yig'indi bo'ladi, agar va faqat P _k va P _l bir nuqtada kesishadi ( m = 0, 18-rasmga qarang).



Guruch. 18


n = k + l – m bo'lgan alohida holatda , P _r tekisligi rolini butun U _n fazosi bajaradi ( r = n = 3 uchun, 15-rasmga qarang).
3) Agar kesishuvchi P _k va P _l tekisliklar qandaydir P _r tekislikda joylashgan bo'lsa , ularning kesishish o'lchami . Xususan, U _n dan har qanday ikkita ajratilgan samolyotlar uchun .
nuqtadan P _k va P _l tekisliklar o'tsa Va mos ravishda L _k va L _l pastki bo'shliqlar yo'nalishi bo'yicha va agar L _k L _l tarkibida bo'lsa , u holda P _k tekisligi P _l tekisligida joylashgan bo'ladi . Agar bu holda k = l bo'lsa , u holda P _k P _l bilan mos keladi (shuningdek, L _k L _l bilan mos keladi ).
Parallel tekisliklar
Endi P _k tekislik nuqta bilan aniqlansin A va pastki fazo L _k , va tekislik P _l – B nuqta va pastki fazo L _l . Biz buni taxmin qilamiz .
Ta'rif : P _k tekislik P _l tekislikka parallel bo'lsa .
Bunda P _l tekislik P _k tekislikka parallel .
Izoh 1. Ushbu ta'rifga ko'ra, inklyuziya parallelizmning alohida holatidir.
Izoh 2. Agar P _k P _l ga parallel bo'lsa va k = l bo'lsa, L _k L _l bilan mos keladi .
n = 3 ta maxsus holatlar uchun buni tekshiramiz k = l = 1,
k = l = 2 va k = 1, l = 2 elementar geometriyadan ma'lum bo'lgan chiziqlar va tekisliklarning parallelligi tushunchasiga mos keladi (19-rasm).



a B C)
Guruch. 19

Ixtiyoriy affin koordinatalar sistemasida ikkita P tekislik bo'lsin Va Xuddi shu o'lchamdagi P ^l chiziqli tenglamalar tizimlari bilan berilgan. Parallelizm ta'rifidan foydalanib, quyidagi bayonotni o'rnatish qiyin emas.

Bayonot . P uchun va P ^' parallel bo'lgan bo'lsa, mos keladigan bir hil tenglamalar sistemasi ekvivalent bo'lishi zarur va etarlidir.
Xususan, ikkita giper tekislik parallel bo'ladi, agar ular bir xil koordinatalarda tenglamalar bilan berilgan bo'lsa.


va (6.6)
(6.7)

o'zgaruvchilar uchun proportsional koeffitsientlar bilan:

.


Teorema 1. U _n affin fazoda P _k tekislik va B nuqta berilgan bo'lsin.U holda B nuqtadan P _k ga parallel o'tuvchi k o'lchamli yagona tekislik mavjud . Agar , keyin P _k bilan mos keladi ; nuqta bo'lsa B P _k tashqarisida joylashgan , keyin P _k tekisliklari va kesishmaydi.
Samolyotlarni kesib o'tish
Ta'rif . Ikki tekislik kesishmasa yoki parallel bo'lsa, kesishadi deyiladi.
Ma'lumki, U ₃ uch o'lchovli fazoda ikkita to'g'ri chiziq, ya'ni bir o'lchovli tekisliklar kesishishi mumkin_, U ₃ dagi to'g'ri chiziq va ikki o'lchovli tekislik kesishishi mumkin emas. Kosmosning o'lchamlari oshgani sayin, u yanada kengroq bo'ladi, buning natijasida unda bir o'lchovli emas, balki turli o'lchamdagi kesishgan tekisliklarni qurish mumkin bo'ladi. 2-teorema quyida tuzilgan bo'lib, uning mazmuni o'tish tekisliklarini qurishning umumiy texnikasi sifatida qaralishi mumkin. Ya'ni, U _n affin fazoda P _l ( l < n ) tekislik berilgan bo'lsin . P _k va P _l parallel bo'lmasligi va kesishishi uchun ixtiyoriy P _k tekislikni olaylik ; ular bo'ylab kesishgan tekislik P _m bilan belgilanadi . n _k va n _l ni o'z ichiga olgan eng kichik o'lchamli tekislik n _r bo'lsin . Biz r = k + l – m ekanligini bilamiz .
Teorema 2. Agar bo'lsa , n _k ga parallel bo'lgan va n _r da yotmaydigan har bir k o'lchovli tekislik n _{l ni} kesib o'tadi .
Natija . Agar k , l , m , n butun sonlar tengsizliklarni qanoatlantirsa.
, , , keyin U _{n da} P _k va P _l yo'nalish pastki fazolari L _k va L _{l bo'lgan} kesishuvchi tekisliklar mavjud bo'lib , ularning kesishishi m o'lchamga ega .
2-teoremaning isboti. Chunki P _r tekislik butun U _n fazoni tugatmaydi . Bu sizga (katta o'zboshimchalik bilan) fikrni qabul qilishga imkon beradi C P _r da yotgan emas . C nuqtadan o'tuvchi , P _k ga parallel bo'lgan k o'lchamli tekislikni belgilaymiz . P _r da nima yo'qligi aniq va bu, nuqtani boshqacha tanlash , bilan biz teorema shartlarini qanoatlantiradigan har qanday k o'lchovli tekislikni olishimiz mumkin . (14-rasmga qarang, unda k = l = 2, r = 2, n = 4 va uch o'lchovli tekisliklar shartli ravishda parallelepiped shaklida tasvirlangan).



Guruch. 20