” mavzudagi kurs ishi qabul qildi: Rafiqov. A farg’ona 2021 reja kirish I bob

2-teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) intervalda differensiallanuvchi va x(a;b) uchun f’(x)>0 (f(x)<0 ) bo‘lsa, u holda f(x) funksiya (a,b) intervalda qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi ) bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik x₁,x₂(a;b) va x₁2 bo‘lsin. Ravshanki, [x₁;x₂] kesmada f(x) funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu teoremaga binoan shunday c(x₁;x₂) mavjudki
f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik va f’(c)>0 (f’(c)<0 ) ekanligidan f(x₂)>f(x₁) (f(x₂)1) bo‘lishi kelib chiqadi. Bu f(x) funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi.
Ushbu y=x³ funksiya (-1;1) intervalda qat’iy o‘suvchi, lekin uning hosilasi x=0 nuqtada nolga teng bo‘ladi.
Shunga o‘xshash f(x)=x+cosx funksiya ham aniqlanish sohasida qat’iy o‘suvchi, ammo uning hosilasi f’(x)=1-sinx cheksiz ko‘p nuqtalarda
( ) nolga teng bo‘ladi. (1-rasm)
Bu misollar yuqoridagi teoremaning shartlari funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishi uchun faqat yetarli shart ekanligini ko‘rsatadi.
4. Murakkab funksiya. F va g funksiyalar mos ravishda X va Y to’plamda berilgan bo’lib, f funksiyaning qiymatlar to’plami E(f)=Y, g funksiyanoing qiymatlar to’plami E(g)=Z shart bajarilganda X to’plamda F=g(f(x))=h(x) yoki F=g(f(y))=h(y)

II BOB. FUNKSIONAL KETMA-KETLIKLAR
2-1-§. Funksional ketma ketlik va ularning yaqinlashuvchanligi
1. Funksional ketma-ketliklar. Ixtiyoriy E va F to’plamlar berilganda, E to’plamni F to’plamga aksantirish o’rinli.
Endi E=N, F to’plam sifatida esa to’plamda berilgan funksiyada to’plami ni olib, ushbu
( ) (1)
aksantirishni qaraymiz. Bu aksantirish funksional ketma-ketlik tushunchasiga olib keladi.
(1) aksantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:

Natijada akslantirishning akslaridan (obrazlaridan) tashkil topgan ushbu

, , ,……, ,…. (2)
to’plam hosil bo’ladi.
(2) to’plam X da berilgan funksional ketma-ketlik deb ataladi va kabi belgilanadi.
Shunday qilib funksionl ketma-ketlikning xar bir xadi sonli ketma-ketlikning xadlaridan farqli o’laroq muayyan funksialardan iborat.
Shuni xam takidlash lozimki, , , ,……, ,…. ketma-ketlik turli hadlarining aniqlanish sohasi umuman aytganda turlicha bo’lishi mumkin. Biz bu yerda X sifatida shu sohaning umumiy qismini olib qaraymiz.
(2) ketma-ketlikda funksiya shu ketma-ketlikning umumiy hadi (n-) hadi deyiladi. Demak, (2) funksional ketma-ketlikning umumiy hadi x va n o’zgatuvchilarga bog’liq bo’ladi.