§. Natural va butun sonlar

9 - §. Tenglamalar

Agar P_n(x) = a₀xⁿ +a₁ x^n-1+…..+a_n-1x +a_n ko’phadning ildizlari x₁ , x_2,…….,x_n bo’lsa, Vietning umumiy teoremasi quyidagicha.

Bezu teoremasi. x₀ ixtiyoriy sonda P_n(x) ko’phadni (x-x₀) hadga bo’lganda qoldiq P_n(x₀) ga tengdir.

Sizga ax³+bx²+cx+d =0 kubik tenglamaning ildizlari qaysi sonlar oraliqdaligini aniqlash hamda bu ildizlarni o’zi qanday sonlar ekanligini aniqlash bir muncha qiyinchilik tug’dirishi mumkin. Bu qiyinchiliklarni bartaraf etish maqsadida quyidagi bir necha amallarni ko’rib chiqamiz.

Sizga ma’lumki bu kubik tenglama 3 ta ildizga ega. Bu ildizlardan biri haqiqiy qolgan ikkitasi kompleks sonlarda yoki haqiqiy sonlarda bo’lishi mumkin. Biz faqat haqiqiy ildiz qaysi oraliqda ekanligini aniqlaymiz. Asosiy maqsadimiz haqiqiy ildizni topmasdan bu ildiz qaysi oraliqda ekanligini topishdir.

y = ax³+bx²+cx+d ko’phadni ko’rib chiqamiz.

Agar x sonining absolyut qiymatini keraklicha kattalashtirib olsak bunda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.

(1)

(2)

Agar =v va M = max( deb belgilab olsak yuqoridagi 2 tengsizlik quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

(4)

Bu 4 tengsizlik

(5)

tengsizlik shaklida keladi.

Yuqorida takidlab o’tganimizdek absolyut qiymati kattasi bizga qiziqdir.

Yuqoridagi 5 tengsizlik

shaklda bo’ladi.

Biz x ning absolyut qiymatini yetarlicha katta qilib olganimiz sabab, shart ham orinli bo’ladi.

Agar tengsizlikni v ga nisbatan ishlasak

v > >1 yechim olinadi.

X ga nisbatan yechim quyidagicha.

(6)

Bundan ko’rinadiki biz x sonini 6 tengsizlik shartini qanoatlantiruvchi qilib olganda y = ax³+bx²+cx+d ko’phad hech qachon nolga teng bo’lmas ekan.

Ko’phad nolga teng bo’lishi uchun shart o’rinli bo’lishi kerak ekan. Demak kubik ko’phadni nolga aylantiruvchi x qiymatning eng yuqori chegarasini belgilab oldik. Bu chegara A= ga teng bo’lar ekan.

Kubik tenglamani eng past chegarasini ham topish mumkin.

Buni quyidagicha aniqlaymiz.

Agar x = deb belgilab olsak ax³+bx²+cx+d=0 tenglama dz³+cz²+bz+a=0 ko’rinishda bo’ladi. Bu yangi hosil bo’lgan tenglama ildizining eng yuqori chegarasi K= ga teng bo’ladi(bunda N = max(). Agar inobatga olsak, bu tengsizlikdan tengsizlik hosil bo’ladi.

Yuqorida isbotlab chiqarilgandan ko’rinadiki ax³+bx²+cx+d =0 tenglamaning haqiqiy ildizining yuqori va quyi chegaralari