§. Natural va butun sonlar

20- §. Sonli ketma-ketlik.

N natural sonlar to’plamida aniqlanadigan cheksiz sonli ketma-ketlik sonli funksiya deyiladi. Bu funksiyada argument odatda n harfi bilan belgilanadi. Funksiyalarning o’zi indekslar yordamida a_n, b_n, x_n va hokazolar ko’rinishda bo’ladi.

a_n cheksiz ketma-ketlik a₁, a₂, a₃,……..a_n,…. shaklda yoki qisqacha ko’rinishi (a_n) shaklda yoziladi.

a₁, a₂, a₃,……..a_n ketma-ketlikning elementlari yoki hadlari deyiladi. Bunda a₁birinchi had, a₂ ikkinchi had, a₃ uchinchi had, a_n – n chi hadi deyiladi.

Agar (a_n ) ketma-ketlikda a a_nb shartni qanoatlantiruvchi a va b sonlar mavjud bo’lsa, unda (a_n ) ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Bunda a soni (a_n ) ketma-ketlikni pastdan, b soni yuqoridan chegaralagan deyiladi.

Misol uchun a_n = ketma-ketlik uchun 0 1 o’rinli bo’ladi.

20-Mashq.

1.Ketma – ketkelgan 18 ta natural sonning yig’indisi qandaydir bir natural sonning kvadratiga tengdir. Bu imkoniyatni beruvchi va yig’indisi eng kichik bo’lgan ketma – ketlikning eng kichik natural soni nechaga teng?

A)4 B)21 C)10 D)18

2.Ketma – ket kelgan 18 ta natural sonning yig’indisi qandaydir bir natural sonning kvadratiga tengdir. Bu imkoniyatni beruvchi va yig’indisi eng kichik bo’lgan ketma – ketlikning eng katta natural soni nechaga teng?

A)4 B)21 C)10 D)18

3. a₁=1 va a_2n=n∙a_n shartlarni qanoatlantiruvchi a₁, a₂, a₃,……… ketma – ketlik berilgan. Bu ketma – ketlikning hadi nechaga teng?

A) 2¹²²⁵ B) 2¹⁰⁰⁰ C) 2¹²⁷⁵ D) 2¹²⁵⁰

4. a₁=1 va a_2n=n∙a_n shartlarni qanoatlantiruvchi a₁, a₂, a₃,……… ketma – ketlik berilgan. Bu ketma – ketlikning hadi nechaga teng?

A) 2⁴⁹⁵⁰ B) 2⁵⁰⁰⁰ C) 2⁵⁰²⁵ D) 2⁵⁰⁵⁰

5. a₁=1 va a_2n=n∙a_n shartlarni qanoatlantiruvchi a₁, a₂, a₃,……… ketma – ketlik berilgan. Bu ketma – ketlikning hadi nechaga teng?

A) 2¹⁹⁹⁰⁰ B) 2²⁰⁰⁰ C) 2²⁰¹⁰⁰ D) 2²⁰²⁰⁰

6. Agar {a_n} ketma – ketlikda a₁= 2va a_n+1 = a_n + 2n (n≥ 1) shartlar bajarilsa, a₅₀ hadining qiymatini toping.

A) 2452 B)2450 C)2552 D)2500

7.Agar {a_n} ketma – ketlikda a₁=2 va a_n+1 = a_n + 2n (n≥ 1) shartlar bajarilsa, a₁₀₀ hadining qiymatini toping.

A) 9900 B)9902 C)10002 D) 9002

8. Umumiy hadi ko’rinishda berilgan ketma – ketlik bo’yicha berilgan tariflardan qaysi biri o’rinli?

A) o’suvchi B) kamayuvchi C) chegaralangan D) aniqlabbo’lmaydi

9. Umumiy hadi ko’rinishda berilgan ketma – ketlik bo’yicha berilgan tariflardan qaysi biri o’rinli?

A) monoton o’suvchi B) monoton kamayuvchi C) chegaralangan D) aniqlabbo’lmaydi

10. Umumiy hadi ko’rinishda berilgan ketma – ketlik uchun n ning qanday qiymatlarida |x_n– 2|< 0.1shart o’rinli bo’ladi?

A) n≥ 31B) n≥ 30 C) n≥ 301 D) aniqlab bo’lmaydi

11. Umumiy hadi x_n =|n² – 5n + 6| ko’rinishda berilgan ketma – ketlik uchun n ning nechta qiymatida 2 n< 6 shart o’rinli bo’ladi?

A) B) C) 1D) bunday qiymat mavjud emas

12. Umumiy hadi x_n = n² – 5n +6 ko’rinishda berilgan ketma – ketlik uchun n ning qanday qiymatida x_n+1>x_n shart o’rinli bo’ladi?

A) n≥ 3B) n ≥ 2C) n ≥ 6 D) aniqlab bo’lmaydi

13. a_n ketma-ketlikda a₁₌2, a_n+1 = munosabat o’rinli bo’lsa, bu ketma-kelikni davriy ekanligini ko’rsating.

14. a_n ketma-ketlikda a_{1 =} 1, a₂ =2, a_n+2 = munosabat o’rinli bo’lsa, a₂₀₀₂ ni qiymatini toping.

A)1 B)2 C)0 D) aniqlab bo’lmaydi

15. (x_n) ketma-ketlik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.

x₁ =

Agar x₁₉₉₉ =5 ga teng bo’lsa, a ning qiymatini aniqlang.

A)1/3 B)2/3 C)2 D) bir tomonlama aniqlanmaydi

16. (x_n) ketma-ketlikda ixtiyori n natural son uchun quyidagi shart o’rinli.

x_n+1 = x_n² -2x_n+2

Agar x₆ =x₁ tenglik o’rinli bo’lsa, x₁ ning qiymatini aniqlang.

A)1 B)2 C) 1 yoki 2 D) aniqlab bo’lmaydi

17. (x_n) ketma-ketlikda ixtiyori n natural son uchun quyidagi shart o’rinli.

x_n+1 = x_n³ -3x_n² +3x_n

Agar x₁₀₀₀ =x₂₀₀₀ tenglik o’rinli bo’lsa, x₁ ning qiymatini aniqlang.

A)0 B)1 C) 0 yoki 1 D) aniqlab bo’lmaydi

18. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =1, a₂ =5, a_n+1 = 2a_n –a_n-1 (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n =4n-3 B) a_n =2n+1 C) a_n =n+3 D) a_n =5n-3 19. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =2, a₂ =6, a_n+1 = (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n =2 B) a_n = C) a_n =2 D) a_n =5n-3

20. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =3, a₂ =9, a_n+1 = 4a_n –3a_n-1 (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n = B) a_n = C) a_n =2 D) a_n =5n-3

21. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =2, a₂ =3, a_n+1 = 3a_n –2a_n-1 (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n = B) a_n = C) a_n =2 D) a_n =4n-3

22. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =1, a_n+1 = (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) B) C) D) aniqlab bo’lmaydi

23. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =1, a_n+1 = a_n +8n (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n = B) a_n =(2n+1)² C) a_n =(2n-1)² D) a_n =4n-3

24. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =6, a_n+1 = a_n +2n+5 (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n =n²+4n-1 B) a_n =n²+4n-3 C) a_n =n²+4n+1 D) a_n =4n-3

25. Agar (x_n) ketma-ketlik x₁ =4, x_n+1 = (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n =2(n-1) B) a_n =2(n+1) C) a_n =n²+4n+1 D) a_n =4n+4

26. Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =0, a_n+1 = (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

A) a_n = B) a_n = C) a_n = D) aniqlab bo’lmaydi

27. Agar (a_n) ketma-ketlik a₃ =5, a₈ =60, a_n+2 = a_n+1 +a_n (n>1) shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning birinchi hadini aniqlang.

A) 3 B)2 C)1 D) aniqlab bo’lmaydi

28. Agar (x_n) ketma-ketlik x₁ =1, x_n+1 = shartlarni qanoatlantirsa, bu ketma-ketlikning umumiy hadini aniqlang.

Javob: ( x_n = sin )

29. Quyidagilarni doimo to’g’riligini ko’rsating.

29.1) 1+2+3+4+5+…+n=

29.2)

29.3)

29.4)

30. Yig’indini hisoblang.

S =(1+1²) +(2+2²)+(3+3²)+…+(n+n²)

Javob: (

31. Yig’indini hisoblang.

(1+3)+ (2+3)+ (3+3)+….+( (n+3)

Javob: n(n+1)²

32. Yig’indini hisoblang.

2+3+4+…..+(n+1)n²

Javob: ( n(n+1)(n+2)(3n+1)/12)

33. Yig’indini hisoblang.

12n

Javob: ( n(n+1)(3n²+7n+8)/12)

34. Yig’indini hisoblang.

1

Javob : (n(n+1)(n+2)(n+3)/4)

35. Yig’indini hisoblang.

1²+3²+5²+…..+(2n-1)²

Javob: ( n(4n²-1)/3)

36. Yig’indini hisoblang.

1³+3³+5³+…..+(2n-1)³

Javob: ( n² (2n²-1))

37. Yig’indini hisoblang.

1+22²+32³+……+n2ⁿ

Javob: (n-1)2ⁿ⁺¹+2

38. Yig’indini hisoblang.

1+33²+53³+…..+(2n-1)3ⁿ

Javob: ((n-1)3ⁿ⁺¹+3)

39. Yig’indini hisoblang.

(1² +3²+5²+……+597²+599²) – (2²+4²+6²+…+598²+600²)

Javob: (-180300)