ǴÍ NÓkis mámleketlik pedagogikalíq institutí Matematika – informatika fakul`teti Matematika oqıtıw metodikası kafedrası «Matematika oqıtıw metodikası» tálim baǵdarınıń 4-kurs talabası xalmuratova nazira orínbaevnaníŃ

§. Normalanǵan keńislik túsinigi

K maydanda berilgen X sızıqlı keńisliktiń hár bir x elementine teris bolmaǵan x haqıyqıy sanı sáykes qoyılǵan bolıp, bul sáykeslik tómendegi shártlerdi qaanatlandırsın

1. 
   x 0  x 0 ;
   

2. 
    x   x
   

 K ,
 xX  ;

3. 
   x  y 
   

x  y
  x , y X .

Onda X ti normalanǵan keńislik dep ataymız.
norması dep ataladı.
x san bolsa x elementtiń

Eger
  x, y 
arqalı
x  y
sanın belgilesek, onda
  x, y 
metrika

boladı. Haqıyqatında da,

1)   x , y 
x  y  0
 x  y ;

2)   x , y 
x  y
  1  y  x 
 1
y  x 
y  x
   y , x ;

3)   x , y 
x  y 
x  z  z  y 
x  z 
z  y
   x , z    z , y .

Demek, qálegen normalanǵan keńislik metrikalıq keńislik boladı eken. Sonıń ushın metrikalıq keńisliklerde kiritilgen túsiniklerge normalanǵan keńisliklerde

de anıqlama beriw múmkin. X normalanǵan keńislik bolıp,
x₀ X
bolsın.

Orayı
x₀ noqatta hám radiusı
r  0
ge teń ashıq (tuyıq) shar dep

S _r  x₀ xX :
x  x₀
 r 
S _r  x₀ xX :
x  x₀
 r 

kópligine, orayı
x₀ noqatta hám radiusı
r  0
ge teń sfera dep

 _r  x₀ xX :
x  x₀
 r  kópligine aytıladı. x₀
noqattıń
  0
dógeregi

dep
S_ (x₀ )
ashıq sharǵa aytamız hám onı
O _  x₀ 
kóriniste belgileymiz.

Dógerek túsinigi kiritilgennen keyin urınıw, limit, jekkelengen noqatlar izbe- izliktiń jıynaqlılıǵı, fundamental izbe-izlik, kópliktiń tuyıqlanıw kópligi, kópliktiń ishi, ashıq kóplik, tuyıq kóplik túsiniklerine metrikalıq keńisliklerdegidey anıqlama beriledi.

Tolıq normalanǵan keńislikti Banax keńisligi dep ataymız.
X normalanǵan keńislik bolıp, Y keńislik X ti óz ishine alıwshı banax

keńisligi bolsın. Eger X  Y
ataladı.
bolsa, onda Y keńislik X tıń toltırıwshısı dep

Normalanǵan L keńisliktiń L₀
L diń úles keńisligi dep ataymız.
sızıqlı úles kópligi tuyıq bolsa, onda
L₀ di

x_ 
sistemanı óz ishine alıwshı eń kishi tuyıq úles keńislik, usı

sistemanıń sızıqlı qabıǵı dep ataladı hám
Lx_ 
kóriniste belgilenedi. Eger

Lx_   L bolsa, onda x_  sistema tolıq delinedi.

Mısallar.

1. 
   Haqıqıy sanlar keńisligi R de normanı múmkin ekenligin kórsetiń.
   

Sheshiliwi. Norma aksiomaların tekseremiz.


x  x
kórinisinde kiritiw

1. 
   x
   

 x 0
 x 0;

2. 
    x
   

  x  
x   x ;

3. 
   x  y
   

 x  y
 x  y  x  y .

2. 
   n ólshemli
   

Rⁿ keńisliginde normanı

x 
( x  x₁
, x₂ ,
.. .
, x _n )

kórinisinde kiritiw múmkin ekenligin dálilleń.
Sheshiliwi.

1. 
   x
   


0 
x₁  x₂
. . . x
_n 0 
x 0;

2. 
    x
   




  x ;

3. 
   Qálegen
   

x  x₁ , x₂ , .. . , x _n ,
y  y₁ , y₂ , . . ., y _n  elementler ushın

_{ }n
_{ 2  }n
2 _{ }
²  ¹ n    ²

n
 x_k y_k 
x_k y_k
2  
x_k y_i
y_k x_i

 k 1
 k 1
k 1
k 1
i1

k
teńligi orınlı. Bul teńlikten Koshi-Bunyakovskiy teńsizligi kelip shıǵadı:



2
 ⁿ 
 x_k y_k 
 k 1 

n
Bul teńsizlikten paydalanıp



x

k
_{ } 2
k 1



k 1
y ² .

x  y
² _  x_k k 1
 y_k
 ² _ x_k

n
k 1




k
²  2 _ x
k 1




y



2
^yk ^ k
k 1

2
 _ x_k  2
k 1


^{ x}k
k 1

2

y

k
_{ } 2
k 1











_ 2



  x  y  ²

teńsizligin jaza alamız. Nátiyjede,
x  y 


x  y .

2. 
   C a , b  keńisliginde normanı
   

f  m a x
f  t 

a  t  b

kórinisinde anıqlaymız. Normanıń aksiomaların tekseriń.

Sheshiliwi.

1)

f

 m a x f

 t 

 0 

f  0;

2 )

 f

a  t  b  m a x

 

f   t  

m a x 



f  t 





f

;

a  t  b

a  t  b

3) Qálegen
f , gC  a , b  funkciyaları ushın

 f  g
  t  
f  t  g  t  
f  t  
g  t  

 m a x
f  t 

• 
  m a x
  

g  t   f  g

a  t  b a  t  b

Nátiyjede,
f  g  f

• 
  g teńsizligine iye bolamız.
  

n


Anıqlama. Tolıq normalanǵan keńislik Banax kenisligi yamasa B
keńislik dep ataladı hám normalanǵan keńislikler ishinde úlken áhmiyetke iye.

3. §. Sızıqlı úzliksiz funkcionallar

Bizge E sızıqlı topologiyalıq keńisligi berilgen bolsın. Eger hár bir


x  E

elementke qandayda bir
f x (haqıyqıy yamasa kompleks) san sáykes qoyılǵan

bolsa, onda E keńisliginde f funkcional anıqlanǵan delinedi. Bul funkcional

ushın

hám
f x  y 
f x
f y x, y  E 
(additivlik)

f x  f x x  E;
  R
ямаса
 C  (birteklilik)

teńlikleri orınlı bolsa, onda ol sızıqlı funkcional dep ataladı.

Anıqlama. E keńisligine tiyisli x₀
noqat alınǵanda, qálegen
  0
sanı

ushın
x₀ noqattıń sonday U dógeregi bar bolıp, bul dógerekten alınǵan barlıq x

noqatlar ushın


f x


f x₀   


(1)

teńsizligi orınlı bolsa, onda f funkcional x₀
noqatta úzliksiz delinedi. Eger f

funkcional E keńisliginiń hár bir noqatında úzliksiz bolsa, onda ol E
keńisliginde úzliksiz delinedi.

dep

5. 
   keńisliginde anıqlanǵan
   

f₁ hám
f ₂ sızıqlı funkcionallardıń qosındısı

f x 
f₁x
f₂x, x  E

kórinisinde anıqlanǵan f funkcionalǵa aytıladı hám belgilenedi.
f₁  f ₂
kórinisinde

f₁ sızıqlı funkcionaldıń  sanǵa kóbeymesi dep
f x  f₁x, x  E

kórinisinde anıqlanǵan f funkcionalǵa aytamız hám onı belgileymiz.
f₁
kórinisinde

Sızıqlı funkcionallardıń qosındısı hám sanǵa kóbeymesi sızıqlı funkcional
bolatuǵını ayqın kórinedi. Sonıń menen birge, sızıqlı topologiyalıq keńislikte

anıqlanǵan sızıqlı úzliksiz funkcionallardıń qosındısı hám sanǵa kóbeymesi sızıqlı úzliksiz funkcional boladı.
E sızıqlı topologiyalıq keńisliginde anıqlanǵan barlıq sızıqlı úzliksiz funkcionallar kópligi joqarıda kórsetilgen usıl menen qosıw hám sanǵa kóbeytiw ámelleri boyınsha sızıqlı keńislik bolatuǵının tekseriw qıyın emes. Bul
sızıqlı keńislik E ge túyinles keńislik delinedi hám E * kórinisinde belgilenedi.

Z normalanǵan keńislik bolǵanda f funkcionaldıń
x₀  Z
noqatta

úzliksizligine tómendegishe anıqlama beriw múmkin: qálegen
  0
sanı ushın,

sonday
  0
sanı tabılıp,
x  x₀  
teńsizligi orınlı bolǵanda

f x
f x₀   
teńsizligi orınlı.

Z normalanǵan keńislikte orayı nul` noqatta hám radiusı birge teń tuyıq

sharǵa Z keńisliktiń birlik sharı dep ataymız. Birlik shar ádette
belgilenedi.
Z₁ kórinisinde

f funkcional Z normalanǵan keńislikte úzliksiz bolsa, onda
sup f x
xZ₁

sanına f funkcionaldıń norması delinedi hám f kórinisinde belgilenedi. Bul

jerde normanıń úsh shártin tekserip kóriw qıyın emes. Demek, Z normalanǵan

keńislikke túyinles bolǵan Z * keńislikte normalanǵan keńisliktiń ádettegi

strukturasın kiritiw múmkin. Z * keńisliktegi normaǵa sáykes keliwshi

topologiyaǵa usı keńisligindegi kúshli topologiya delinedi. Kúshli topologiya boyınsha jıynaqlılıqtı kúshli jıynaqlılıq dep ataymız

Funkcionaldıń norması ushın tómendegi teńlikler orınlı:

f  sup
xZ x0
 sup
xZ₁
f x  sup f x .
x 1

Eger sonday ózgermes С sanı bar bolıp, barlıq
f x  C x
x  Z
elementler ushın
(2)

teńsizligi orınlı bolsa, onda f funkcional Z keńisliginde shegaralanǵan delinedi.

1. 
   mısal. Eger f funkcional E sızıqlı topologiyalıq keńisliktiń qandayda
   

bir x tochkasında úzliksiz bolsa, onda ol E keńisliginde úzliksiz bolatuǵının dálilleń.
Sheshiliwi. E keńisliginen qálegen y element, maydannan qálegen

  0
san alıp, x noqattıń (1) shártti qanaatlandırıwshı U dógeregin alayıq.

U  x
kópligi 0 diń dógeregi bolǵanlıqtan
V  U  y  x
kópligi y noqattıń

dógeregi boladı. Bul dógerekten qálegen z noqat alayıq. Onda

f z f y 
f z  y  x  x 
f z  y  x
f x

teńliginen hám
z  y  x
elementtiń U kópligine tiysli ekenliginen

f z
f y  
teńsizliginiń orınlı ekenligi kelip shıǵadı. Demek, V kópligi y

ushın (13.1) shártti qanaatlandıradı eken.

2. 
   mısal. f funkcionaldıń E keńisliginde úzliksiz bolıwı ushın nul` noqattıń f funkcional shegaralanǵan bolǵan dógereginiń bar bolıwı zárúr hám jeterli ekenligin dálilleń.
   

Sheshiliwi. Zárúrligi. f funkcional 0 noqatta úzliksiz bolsa, onda qálegen

  0
san ushın 0 noqattıń
f x  
teńsizlik orınlı bolatuǵın dógeregi bar

boladı.
Jeterligi. 0 noqattıń U dógereginde f funkcional shegaralanǵan bolsın.
Onda sonday С shekli sanı bar bolıp, U dógerekten alınǵan qálegen x element

ushın
f x  C
teńsizligi orınlı boladı. Nátiyjede qálegen
  0
sanı ushın, 0

noqattıń ^ U
C


dógereginde
f x  

teńsizligi orınlı boladı.

3. 
   mısal. R ²
   

keńisliginde anıqlanǵan
z  ax  by
funkcionalı R

maydanında sızıqlı bolama?

Sheshiliwi.
z  f t
bolsın, bunda
t  x, y. Qálegen
t₁  x₁ , y₁ 
hám

t₂  x₂ , y₂  noqatlar ushın
f t₁  t₂   ax₁  x₂  by₁  y₂  
  ax₁  by₁   ax₂  by₂   f t₁  f t₂  .
Demek, berilgen funkcional haqıyqıy sanlar maydanında sızıqlı boladı eken.

4. 
   mısal. Qálegen additiv funkcional ushın teńlikleriniń orınlı ekenligin kórsetiń.
   

F   0,
F x  Fx

Sheshiliwi.
F( )  F(   )  F( )  F( )  2F( ) , yaǵnıy
F( )  0.

0  F( )  Fx  x  Fx F(x) . Nátiyjede,
F(x)  F(x).

5. 
   mısal. Qálegen additiv funkcional ushın ekenligin kórsetiń, bunda  racional san.
   

Sheshiliwi. n natural sanı ushın
f (x)  f (x)
teńliginiń orınlı

 

f nx 
f ^ _x _x_ ._..__x ^  _f (_x)_ _f_(x_) _.._._f _(_x)  nf (x).

 n  _n

Nátiyjede,
  ^m
n
(m, n  N ) bolǵanda


 

f (x) 
f ^{ m} x ^ 
f ^{ 1} x  ¹ x  ... ¹ x ^  mf ^{ 1} x ^ 

 
 ⁿ 

_{ }n

ⁿⁿ ^
 
 ⁿ 

 m 

 ^m  nf ^{ 1} x ^  ^m  f ^ n  ¹ x ^  ^m
f x  f x.

 
n _ n _ n
 
_ n _ n

  0
bolǵanda
f (x)   f (x)
teńliginen paydalanamız, yaǵnıy

f x  f   x   f  x  () f x  f x.

6. 
   mısal. f funkcional Z normalanǵan keńislikte úzliksiz bolsa, onda
   

qálegen dálilleń.
x  Z
element ushın
f x 
f  x
teńsizliginiń orınlı bolatuǵının

Sheshiliwi.
x  0
bolǵanda
element birlik sharǵa tiyisli boladı.

Sonlıqtan


f



x



^  sup




^ xZ₁


f x 


f , yaǵnıy


f x 


f  x .


x  0

bolǵanda
f x 
f  x
teńsizliktiń eki tárepide nul` boladı.