ǴÍ NÓkis mámleketlik pedagogikalíq institutí Matematika – informatika fakul`teti Matematika oqıtıw metodikası kafedrası «Matematika oqıtıw metodikası» tálim baǵdarınıń 4-kurs talabası xalmuratova nazira orínbaevnaníŃ

§. Ekstremallıq máseleler

Sızıqlı bolmaǵan funkcionallıq analizdiń tiykarǵı máseleleriniń biri funkcionallardıń ekstremumların tabıw bolıp tabıladı.

1. 
   Ekstremumnıń zárúrli shártleri. F haqıyqıy funkcional X
   

Banax keńisliginde anıqlanǵan bolsın. Eger
x₀  X
noqattıń bazı bir

dógeregindegi qálegen x ushın
Fx  Fx₀  0
( Fx  Fx₀  0 ) teńsizlik

orınlansa F funkcional
x₀ noqatta minimumǵa (maksimumǵa) iye dep ataladı.

Maksimum hám minimum noqatları F ushın ekstremum noqatları dep ataladı.

Matematikalıq analizdan málim, n ózgeriwshili f funkciya

x  x⁰ , x⁰ ,, x⁰ 
noqatta ekstremumǵa iye bolıp, differenciallanıwshı bolsa,

0 1 2 n

onda df
 0 , yaǵnıy


f


x<sub>1


</sub> f
x₂


f _{ 0}

x_n

boladı. Ekstremumnıń bul zárúrli shárti qálegen normalanǵan keńislikler ushın da orınlı.

1. 
   teorema. Differenciallanıwshı F funkcional
   

x₀ noqatta ekstremumǵa

iye bolıwı ushın onıń zárúr, yaǵnıy
x₀ noqattaǵı differencialı hár bir h da nolge teń bolıwı


F'x₀ h  0

Dálillew. F differenciallanıwshı bolǵanı sebepli

Fx₀  h  Fx₀   F'x₀ h  oh

boladı. Eger
F'x₀ h
bazı bir
h  X
ushın nolden ózgeshe bolsa, jeterli

dárejede kishi  haqıyqıy san ushın
F'x₀ h  oh
ańlatpanıń belgisi

F'x₀ h
tıń belgisi menen birdey boladı.
F 'x₀ 
sızıqlı funkcional bolǵanı

ushın
F'x₀ h  F'x₀ h . Demek, eger
F'x₀ h  0
bolsa,

Fx₀  h  Fx₀ 
ayırma h qálegen kishi bolǵanda oń bolıwı da, teris bolıwı

da múmkin, yaǵnıy x₀ noqatta F ekstremumǵa iye emes.

Mısallar. 1. Ca,b keńislikte tómendegi


b
F x  _ f t, xt dt
a
funkcionaldı qaraymız. Eger f funkciya birinshi tártipli úzliksiz tuwındılarǵa iye bolsa, F funkcional Ca,b keńislikte differenciallanıwshı.
Haqıyqatında da,

F x  h  F x  _ f t, x  h 
a
f t, xdt 

Bunnan
b

x
 _ f ^' t, xht dt  oh
a


b

x
dF  _

x
a
f ^' t, xt ht dt

Eger qálegen
h Ca,b
ushın
dF  0
bolsa, onda
f ^' t, x  0
boladı.

Haqıyqatında da, qálegen
xtCa,b
ushın
f ^' t, x
funkciya t ǵa qarata

x
úzliksiz. Eger ol bazı bir
t₀ a,b ushın nolden ózgeshe bolsa, yaǵnıy máselen,

x
f ^' t₀
, xt₀
  0

bolsa, onda

t₀ diń bazı bir ,  

dógereginiń hár bir t

noqatında da
f t, xt  0 . Demek, tómendegi


ht   ^
t     t ,
a,b
  t  
ushin

_0,
funkciyanı alsaq, onda
qa lg' an t
b

x
_ f ^' t, xt ht dt  0
a

boladı. Bul qarama-qarsılıq
f ^' t, x=0 ekenligin kórsetedi.
f ^' t, xt   0

x

x
teńleme F funkcional ekstremumǵa iye bolıwı múmkin bolǵan iymek sızıqtıń
teńlemesi boladı.

2. 
   Ca,b kenislikte basqa funkcionaldı alamız:
   

b b
F x  _{ } K ₁,₂ x₁ x₂ d₁d₂
a a

bul jerde
K₁,₂ 
funkciya
K₁,₂   K₂ ,₁
shártti qanaaatlandırıwshı

úzliksiz funkciya. Sońınan

b b
F x  h  F x  _{ } K ₁,₂ [(x₁   h₁ )(x₂ 
a a
b b
 h₂ )  x₁ x₂ ]d₁d₂  _{ } K ₁,₂ [x₁ h₂  
a a
b b
 x₂ h₁ ]d₁d₂  _{ } K ₁,₂ h₂ d₁d₂ 
a a
b b b b
 _{ } K ₁,₂ x₁ h₂ d₁d₂  _{ } K ₂ ,₁ x₂ h₁ d₂d₁ 
a a a a
b b b b
 _{ } K ₁,₂ h₁ h₂ d₁d₂  2_{ } K ₁,₂ x₁ h₂ d₁d₂ 
a a a a
b b
 _{ } K ₁,₂ h₁ h₂ d₁d₂
a a


b b

bunnan
dF  2_{ } K ₁,₂ x₁ h₂ d₁d₂ . Демек,
a a
x Ca,b
экстремум

noqatı bolsa, onda qálegen
h Ca,b ushın

b b
_{ } K ₁,₂ x₁ h₂ d₁d₂  0
a a
boladı. Bunnan 1-mısaldaǵıday, qálegen ₂ a,b ushın

teńlik kelip shıǵadı.

b
_ K ₁,₂ x₁ d₁  0
a

x qa qarata bul teńlemeniń bir sheshimi
x  0 . Basqa sheshimlerdiń bar-

joq ekenligi etedi.
K₁,₂ 
funkciyaǵa baylanıslı hám qosımsha tekseriwlerdi talap

2. Ekstremumnıń jetkilikli shártleri. n ózgeriwshili funkciyanı qaraymız.

df  0
shártti qanaatlandırıwshı x  x⁰ , x⁰ ,, x⁰ 
noqatta ekstremmunıń bar

0 1 2 n

bolıwı ekinshi differencialǵa baylanıslı, yaǵnıy tómendegiler orınlı:

1. 
   Eger
   

f x₁, x₂ ,x_n 
funkciya x⁰ , x⁰ ,, x⁰ 
noqatta minimumǵa

1 2 n

(maksimumǵa) iye bolsa, hám
d ² f
bar bolsa, onda bul noqatta
d ² f  0

( d ² f
 0 ) boladı.

2. 
   Eger x⁰ , x⁰ ,, x⁰  noqatta tómendegi
   

1


df  0,
2 n



n
d ² f  _


d ² f dx dx


dx_i dx_k  0

( 0)

i : dx_i

 0

^{i,k 1} i
qatnaslar orınlı bolsa, onda (maksimumǵa) iye boladı.
k
f x
funkciya bul noqatta minimumǵa

Basqasha etip aytqanda,
df  0
shártti qanaatlandırıwshı noqatta

minimum (maksimum) bolıwı ushın
d ² f  0
( d ² f
 0 ) bolıwı zárúrli shárt,

d ² f

• 
  0 ( d ² f
  

 0 ) bolıwı jetkilikli shárt.

Endi usı máselelerdi qálegen Banax keńisligindegi funkcionallar ushın kóremiz.

2. 
   teorema. X Banax keńisliginde anıqlanǵan F haqıyqıy funkcional
   

x₀  X
noqattıń bazı bir dógereginde úzliksiz ekinshi tártipli tuwındıǵa iye

bolsın. Eger bul funkcional
x₀ noqatta minimumǵa iye bolsa, onda qálegen

h  X
boladı.
ushın


F"x₀ h,h 0

Dálillew. Teylor formulasına muwapıq

F x  h  F x   F 'x h  ¹ F"x
h, h  oh ² 

0 0 0 _2! 0

Funkcional
x₀ noqatta minimumǵa iye bolǵanı ushın 1-teoremaǵa kóre

F'x₀ h  0, yaǵnıy
F x  h  F x

  ¹ F"x h, h  oh ² 

(17)

0


boladı. Eger bazı bir
0 ₂ 0
h  X ushın
F"x₀ h,h 0


bolsa, onda

F"x₀ h,h   ²F"x₀ h,h
teńlikke kóre
F"x₀ h,h 0
shártti

qanaatlandırıwshı h vektordıń normasın qálegenshe kishi etip tańlap alıw

múmkin. Biraq h kishi bolǵanda

1. 
   F"x
   

h, h  oh ² 

ańlatpanıń belgisi

₂ 0
F"x₀ h, h ańlatpanıń belgisi menen birdey boladı, yaǵnıy
Fx₀  h  Fx₀  0

Bul
x₀ noqattıń minimum noqat ekenligine qarama-qarsı. Demek,

F"x₀ h,h 0
dálillendi.
dep alǵanımız nadurıs, yaǵnıy
F"x₀ h,h 0
boladı. Teorema

Ekstremumnıń bar bolıwınıń jetkilikli shártin Banax keńisligine tuwrıdan-

tuwrı ótkiziw múmkin emes. Yaǵnıy minimum bolıwı shárt emes.
F"x₀ h,h  0 h   
bolsa,
x₀ noqatta

Mısal. l₂
kenislikte funkcionaldı tómendegishe kiritemiz:


  
_{x }  ₄
  



2
_{F x} n n1 ⁿ³
_ x_n , x
n1
x₁, x₂ , l₂


 noqatta birinshi differencial nolge teń, sebebi

   
  
 _h² _  ₄

hám
F h F
n n1 ^n3
hn
n1

lim
h 0


_{ h}2
 lim  0

h

2 

h

4

h 0 _h

Ekinshi differencial bolsa


boladı.

2. 
   n
   

n1 ⁿ³
qatarǵa teń, yaǵnıy qálegen h ushın oń

Biraq  noqatta funkcional minimumǵa iye emes. Haqıyqatında da,
F   0 ,


F^ 0,0, ¹ ^  ¹  ¹  0
_ , ,0, _
 ⁿ  ^{n5 n4}

yaǵnıy noldiń qálegen dógereginde sonday x noqat bar,

Fx  F 
boladı.
Keltirilgen mısaldan kórinip tur, funkcional bazı bir noqatta ekstremumǵa iye bolıwı ushın kúshlirek shártler kerek.

Eger
Bx, y
bisızıqlı funkcional bolsa,
Bx, x
funkcional x qa qarata

kvadratlıq funkcional dep ataladı. Eger sonday
c  0
san bar bolıp, qálegen

x  X
ushın
Bx, x  c x ²
teńsizlik orınlansa,
Bx, x
kvadratlıq funkcional

kúshli oń dep ataladı.

3. 
   teorema. X keńisliktegi F funkcional bolıwı ushın tómendegi shártler jetkilikli:
   

x₀ noqatta minimumǵa iye

1. 
   dFx₀   0 ;
   
2. 
   d ²Fx₀  kúshli oń kvadratlıq funkcional.
   

Dálillew.  oń sandı sonday tańlaymız,
h  
bolǵanda (1) formuladaǵı

• 
   h²
  

 san ushın

• 
  h²
  

 ^c h ²
4

teńsizlik orınlansın; bul jerde c san sonday,

onıń ushın
d ²Fx h, h  c h ²
boladı. Bul jaǵdayda (17) formulaǵa kóre

0
h  
ushın

F x₀
 h  F x₀
  ¹ F"x
₂ 0
h, h  oh ² 

 ¹ c h ²  ¹ c h ²  ¹ c h ²  0
2 4 4
boladı, yaǵnıy x₀ minimum noqatı. Teorema dálillendi.