1-§. 8- klassqa arnalǵan olimpiada máseleleri

Sheshiliwi: Qálegen ushın yaki 4 ke qaldıqsız bólinedi. Bul tastıyıq, ádette (mod 4) kórinisinde jazıladı. Demek, (mod 4) boladı hám másele shártine kóre (mod 4) kelip shıǵadı. Bul jerde eki jaǵday bolıwı múmkin:

1. 
   (mod 4) hám (mod 4);
   
2. 
   (mod 4) hám (mod 4);
   

Bizge kerekli ańlatpanı tómendegishe almastıramız:

1-jaǵdayda (mod 4) hám (mod 4) bolıp, bunnan bolıwı ayqın.
2-jaǵdayda berilgenlerdi hám kórinisinde jazıladı. Onda bolıp,
sanı 8 ge bólinbeydi. Demek, bul jaǵday másele shártin qanaatlandırmaydı.
8-mısal. Sheksiz kemeyiwshi geometriyalıq progressiyanıń qosındısı bolıp, onıń qandayda bir aǵzası -ǵa teń. Eger sol aǵzaǵa deyingi bolǵan barlıq aǵzalar qosındısınıń onnan keyingi aǵzalar qosındısına qatnası 30 bolsa, onda sol aǵzanıń nomerin tabıń.
Sheshiliwi: Máseleniń shártine qarap berilgenlerdi jazamız hám teńleme dúzemiz:


bul teńlemege máseleniń basında berilgen -lardıń mánisin qoyıp hám -ti tabamız:

hám deyingi bolǵan aǵzalardıń qosındısın tabamız:

-di qawsırma sırtına shıǵaramız: hám qawsırma ishi geometriyalıq progressiya bolǵanlıǵı ushın onıń qosındısın tabamız: . Demek, máseleniń shártinde berilgen sheksiz geometriyalıq progressiyanıń qosındısınan -diń mánisin qoyıp -nı tabamız:

Juwabı:
9-mısal. Izbe-izlik hám ushın rekurrent formula menen berilgen. Barlıq -lerde bolıwın dálilleń.
Dálil: Orta arifmetikalıq hám orta geometriyalıq shama arasındaǵı qatnasqa kóre:
.
Endi berilgen izbe-izliktiń kemeyiwshi ekenligin kórsetemiz. Másele shártine kóre
hám bolsa, boladı, yaǵnıy barlıq -lerde . Demek,
bolǵanı ushın barlıq -lerde
boladı.▲
10-mısal. Eger tuwrı tártmúyishliktiń dioganalı hám tárepleri uzınlıqları pútin sanǵa teń bolsa, onda onıń maydanı 12 ge bóliniwin dálilleń.
Dálil. Tuwrı tártmúyishliktiń dioganalı hám tárepleri uzınlıqları bolsın. Onda boladı. Sonıń menen birge bolıwı ayqın.
Demek, eger hám sanlar natural bolsa, onda kóbeymeni 12 ge bóliniwin dálillewimiz kerek. Bunıń ushın -nı 4 hám 3 ke bóliniwin kórsetemiz.

1. 
   4ke bóliniwi. Eger hám jup sanlar bolsa, onda ekenligi túsinikli.
   

Oylap qarayıq hám taq sanlar bolsın. Onda jup san hám ,
yaǵnıy boladı.
Endi taq, jup bolsın. Onda taq san hám boladı. teńlik bolsa yaki kóriniske keledi. Bunnan hám sanlar jup bolǵanı ushın jup san degen juwmaqqa kelemiz, yaǵnıy . Onda hám boladı.

2. 
   3ke bóliniwi. Eger hám -lardan birewi 3ke bólinse, 0nda ekenligi túsinikli.
   

Eger hám -lardan birewi 3ke bólinbese, onda ,
ekenligin tekseriw qıyın emes, yaǵnıy boladı.
11-mısal. Izbe-izlikte hám ushın shárt orınlı bolsa, onda
ekenligin dálilleń.
Dálil. Izlenip atırǵan qosındını tómendegishe almastıramız:
(1)
Másele shártine kóre

boladı, sebebi .
Tap usınday,

boladı. Bul mánislerdi (1) teńlikke aparıp qoyamız:

Demek, teńlik dálillendi. ▲
12-mısal.