1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

3-§. Fredholm teoremalari

Bu paragarafda ham ynqorida ko’rilgan

tenglamani o’rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T

operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning kompaktligi muhim rol o’ynaydi. Shuning uchun H Hilbert fazosida birorta operatorni olib, ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning operatorni ko’rinishda yozamiz. (3.2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan tenglamani va bularga qo’shma bo’lgan

A*

I

T

*

I

T *.

Quyida isbotlanadigan Fredholm teoremalari shu to’rt tenglamaning yechimlari

orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi.

Isbot. KerA va

Im A lar A operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari

sohasi, ya’ni

Bu erdan y Im A ekanligi kelib chiqadi. Demak, Im A yopiqdir. T * operator ham

T bilan bir qatorda kompakt bo’lgani sababli, Im A * ham H ning yopiq qism fazosi bo’ladi.
Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz.

Ravshanki, KerA va Im A * o’zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan, ixtiyoriy

h KerA va x H uchun

Isbot. Agar KerA bo’lsa (ya’ni (3.3) tenglama noldan farqli yechimga ega

bo’lmasa), u holda

A

o’zaro

bir

qiymatli akslantirishdir.

Shuning

uchun,

agar

Munosabatlar _H 1

Im A

H deb faraz qilsak, u holda H ^2

H ^1 ,..., H ^k

1

H k

Isbot. Faraz qilaylik, nolmas

T

bo’lsin.

U holda 20.2-teoremani

I operator uchun qo’llab

T

I f

0 tenglama noldan farqli yechimga ega

ekanligiga kelamiz. Bu yerdan

0 soni T operatorning xos qiymati ekanligi kelib

chiqadi. 3.3-teoremaga ko’ra

dim Ker T

I

n

. Bu esa

operatorning n karrali xos qiymati ekanligini bildiradi.

23-. da chiziqli fazo ta'ri_anib, ularga ko'plab misollar keltirilgan. Chiziqli

fazo o'lchami ta'ri_anib, chekli va cheksiz o'lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosi tushunchalari bayon qilingan. Faktor fazoda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari kiritilgan va faktor fazoning chiziqli fazo tashkil qilishi ko'rsatilgan. 24-. Da chiziqli funksionallar, ularning xossalari qarab chiqilgan. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi ochib berilgan. Chiziqli funksionallar va gipertekisliklar o'rtasida biyektiv moslik o'rnatilgan. 25-. qavariq to'plamlar va qavariq funksionallarning xossalarini tahlil qilishga bag'ishlangan. Qavariq jism va qavariq funksionallar orasidagi bog'lanish ochib berilgan. Chiziqli funksionalni davom ettirish haqidagi Xan-Banax teoremasi va Xan-Banax teoremasining

kompleks varianti isbotlangan. Normalangan fazo Evklid fazo

bo'lishining zarur va yetarli sharti keltirilgan. Oxirgi 28-. Hilbert fazolariga bag'ishlangan. Barcha separabel Hilbert fazolari o'zaro izomor_igi isbotlangan. Hilbert fazolarining qism fazosi, qism fazoning

ortogonal to'ldiruvchisi, ortogonal qism fazolarning to'g'ri yig'indilari

qaralgan. Xuddi shunday Hilbert fazolarining to'g'ri yig'indilari ta'ri_angan. Paragraf so'ngida haqiqiy va kompleks Evklid fazolaridagi skalyar ko'paytmalardagi tafovutlar tahlil qilingan