1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

Intеgrаllаr jаdvаli. Endi intеgrаllаr jаdvаlini kеltirаmiz. Хоsilаlаr jаdvаlidаn intеgrаllаr jаdvаli bеvоsitа kеlib chiqаdi. Jаdvаldа kеltirilgаn tеngliklаrni to`griligini diffеrеnsiаllаsh yo`li bilаn tеkshirish, ya`ni tеnglikni o`ng tоmоnidаgi funksiyaning hоsilаsi intеgrаl оstidаgi funksiyagа tеngligini аniqlаsh mumkin.

Integral bo`yicha asosiy formulalar

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

6.

7.

8.

9.
10.
11.
12. Аgаr bo`lsа,
13.
14.
15.

Yuqоridа kеltirilgаn аniqmаs intеgrаlning хоssаlаridаn vа intеgrаllаr jаdvаlidаn fоydаlаnib, аniqmаs intеgrаlni hisоblаsh mumkin.

Integral hisobi
Jismlarni hajmini hisoblashning Kavalyeri prinsipi boshqa bir usul integrallash metodiga yaqin metod hisoblanadi. Bu usul integral hisobga asoslangan usuldir. Integral hisob yuzalar, hajmlar va og‘irlik markazini topish ehtiyojidan kelib chiqqan umumiy usuldir.
Bu usulning dastlabki ko‘rinishda Arximed ham qo‘llagan edi. Bu usulning tizimli rivojlanishi natijasida XVII asrda Kavalyeri, Torrichelli, Ferma, Paskal va boshqa olimlarning ishlari yuzaga keldi. 1659 yilda Barrou yuzani hisoblash masalasi urinmani topish masalasi bilan bog‘liq ekanligini aniqladi. Nyuton va Leybnits XVII asrning 70-yillarida bir nechta xususiy geometrik masalalarga bu bog‘liqlikni isbotlashdi. Bu yerda differensial va integral hisob o‘rtasida o‘zaro bog‘liqlik o‘rnatilgan edi.
Bu bog‘liklik Nyuton, Leybnits va ularning o‘quvchilari tomonidan foydalanildi va integrallash texnikasi rivojlantirildi. Integrallash L.Eyler, M.B.Ostrogradskiy, P.L.Chebishev ishlarida o‘z jozibasiga erishdi.
1.Kattaligi o’zgaruvchanva funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish

formulabilanhisoblanadi.
Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakatqilayotgan moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.
Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi

formula bilananiqlanadi.
Ma’lumki, inersiya moment tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

Formulalar orqali hisoblanadi.
Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

Formulalar orqali ifodalanadi.
Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari




Formulalar orqali ifodalanadi.
tekislikda massalari bo’lgan material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan static momentlari deyiladi.
Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini va lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan




Formulalarni yozishimiz mumkin.
tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :




chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari

Formulalardan topiladi.
Xulosa
Ma’lumki, ilg‘or texnologiyalarni qo‘llashda asosiy e’tibor loyihalash bosqichiga qaratiladi, bunday tizimli yondoshuv asosida o‘quv jarayonini loyihalash, kutilayotgan natija shaklidagi o‘quv maqsadlarini mumkin qadar aniqlashtirish, rejalashtirilgan o‘quv maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Mavzuni o‘rganishning taxminiy bosqichlari quyidagilardan iborat deb bilamiz: 1) mavzu va uning rejasi beriladi; 2) o‘quv faoliyati natijalari eslatiladi; 3) mavzuni uning ahamiyatga qisqa to‘xtalinadi; 4) mavzuni tushuntirish ketma– ketligi texnologik loyiha asosida o‘qituvchi maqsadiga mos kelishi lozim; 5) talabalar diqqatini jalb etib, mavzu savollari haqida muammoli vaziyatlar hosil qilish; 6) tushuntirish jarayonida o‘quv adabiyotlari yoki tarqatma materal bilan ishlashga ahamiyat beriladi; 7) talabaning tarqatma materal yoki o‘quv adabiyotlardan asosiy tushunchalarni o‘qish va yozishni tashkil etishga imkoniyat yaratish; 8) mavzuni o‘rganish darajasini tekshirish, talabalarga og‘zaki savollar berib borish orqali, (masalan, analitik geometriya tushunchasining mohiyati nima?); 9) talabalar javoblariga izoh berish yoki to‘ldirish, to‘g‘ri javoblarni rag‘batlantirish; 10) egallangan bilimlarni tekshirish va baholash; bunda tayyorlangan savollar hamma talabalarga tarqatiladi. Savollarga javob berish uchun muayan (masalan, 10 minut) vaqt beriladi. Berilgan savol varaqlari yig‘ishtirib olingach, savollar oldindan tayyorlab qo‘yilgan javoblar bilan solishtirib tekshiriladi. To‘g‘ri javoblar ekranda ko‘rsatiladi yoki doskaga ilinadi. Har bir talaba o‘zlarning bilimlarini o‘zlari tekshirib ko‘radilar va baholaydilar baholash reyting tizimida bo‘ladi, o‘qituvchi talabalar javoblariga munosabat bildiradi. Yuqori baholanganlar rag‘batlantiriladi va kam baho olganlarga tanbeh bermasdan, ularni o‘qish – o‘rganishga da’vat etiladi; 11) egallangan bilimlarni yanada mustahkamlash va mustaqil ishlash ko‘nikmasini hosil qilish maqsadida uyga vazifa beriladi. Bunda beriladigan vazifa aniq bo‘lishi, berilgan vazifaning bajarilish shakli (referat, konspekt qilish, misol va masalalarni yechish) aniq bo‘lishi zarur. “ Oliy matematika” fanini, o‘rganishda ushbularga erishishni maqsad qilib olinadi: 1) matematikaning hozirgi zamon taraqqiyotidagi o‘rni va ahamiyati anglash; 2) o‘quvchining matematik apparatning qo‘llanilishiga qiziqishi; 3) amaldagi dastur asosida matematik apparatni o‘rgatish; 4) ayrim masalalarning matematik modellarini tuza bilish va uni tahlil qilish; 5) matematik fikrlash va xulosa chiqarish; 6) matematik bilimlarni chuqurlashtirishga yo‘naltirib, bu bilimlarni o‘z faoliyatida qo‘llash. Shuni ta’kidlaymizki, ,,Oliy matematika’’ fani oliy ta’limda asosiy tayanch fan ekanligi, uning usullari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika, informatika, chiziqli va nochiziqli dasturlash, makro va mikro iqtisod, ekonometriya, iqtisodiy tahlil, moliyaning miqdoriy metodlari, logistika va boshqa fanlarning asosiy bilimlarini egallashda muhim qurol sifatida ishlatilishi e’tiborga olinadi. Biz ushbu uslubiy qo‘llanmada ,,Oliy matematika’’ fanining “Differensial hisobning tatbiqlari” va “integral hisobning tatbiqlari” amaliy mashg’ulot darsida ilg‘or pedagogik texnologiyalarni qo‘llab, o‘qitish- o‘rgatish haqida fikr yuritamiz.