1- teorema: Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun da munosabat barcha lar uchun bajariladi. Isboti

2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo`lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.
Haqiqatan ham,

bo`lgani uchun

Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..
, va
bo`lsin.
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun
(4)
bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

bo`lishligini ko`rsatish yetarli.
Bizga ma`lumki uchun
(5)
va ixtiyoriy uchun
(6)
tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy va da

(3) shartga asosan da
(7)
(5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda

shuning uchun (6) dan
(8)
kelib chiqadi.
(6) ni e`tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da


(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko`rsatamiz.
(5) dan


ni tanlash va (3) shartga asosan, da .
Demak, da ya`ni
Teorema isbot bo`ladi.
uchun mavjud bo`lsin va deb olamiz.
3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, da
(9)
sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli bo`ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.


2. Biror X hodisa hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadigan H_1, H₂, … H_n hodisalarning (ualr gipotezalar deb ataladi) biri bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu gipotezalarning ehtimollari ma’lum, ya’ni P(H₁), P(H₂), …P(H_n) berilgan. Bu gipotezalarning har biri amalgam oshganida A hodisaning ro‘y berish shartli ehtimollari ham ma’lum, ya’ni P(A/H₁), P(A/H₂), …P(A/H_n) ehtimollar berilgan. U holda A hodisaning ehtimoli “to‘la ehtimol” formulasi deb ataluvchi quyidagi formula bilan aniqlanadi.

Birgalikda bo‘lmagan, hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadigan H₁, H_{2, …} H_n hodisalar bеrilgan va ularning P(H₁),P(H2),…P(H_n)ehtimollari ma'lum bo‘lsin. Tajriba o‘tkaziladi
va uning natijasida A hodisa ro‘y bеradi, bu hodisaning har bir gipotеza bo‘yicha shartli ehtimoli, ya'ni
P(A/H₁), P(A/H₂),…P(A/H_n)
ma'lum. A hodisa ro‘y bеrishi munosabati bilan gipotеzalarning ehtimollarini qayta
baholash uchun, boshqacha aytganda,P(H₁/A), P(H₂/A), …P(H_n/A) shartli shartli ehtimolini topish uchun Bayеs formulalaridan foydalaniladi.
3. Agar firma mahsulotlarining 90% a’lo sifatlidir deysiz, shuning ma'nosi shundaki, har 10 mahsulotdan faqat 1 ta mahsulot kamida a’lo sifatga ega bo'ladi.
Bu firmadan 6 ta mahsulot olganda, umumiy holatda 6 * 10 = 60 ta mahsulot sotib olingan deb hisoblashimiz mumkin.
A’lo sifatlilarni olishning eng ehtimol usuli binomial qo'llanish bilan hisoblanishi mumkin. Bu yerda n = 60, p = 0.1 (yani a’lo sifatlilarni topish ehtimoli) va x = 1 (yani faqat bitta a’lo sifatga ega bo'lgan mahsulotlar soni).
Bunday holatda, a’lo sifatlilarni olishning eng ehtimolli sonini topish uchun formulani quyidagicha hisoblaymiz:
P(X = x) = (n C x) * p^x * (1-p)^(n-x)
Bu formulani n, x, p ma'lumotlari bilan to'ldirganda, natijada:
P(X = 1) = (60 C 1) * (0.1)^1 * (0.9)^(60-1) = 0.2935
Shu yerda "n C x" ko'paytmasi n ta elementdan x ta element tanlash usulining ko'paytmasini ifodalaydi, bu esa
(n C x) = n! / x!(n-x)!
formula orqali hisoblanadi, n! n faktorialni ifodalaydi (n! = 1 * 2 * 3 * ... * n).
Demak, shu firmadan 6 ta mahsulot olganda, ular orasida faqat bitta a’lo sifatga ega bo'lgan mahsulotning eng ehtimol soni 1 ta va bu son ehtimollikning 29.35% ga teng.
4. Qutida 8+4=12 ta shar bor. Qutidan tasodifiy tarzda 3 ta shar olganda, oq sharlar soni tasodifiy olingan sharlar sonining taqsimot qonuniga mos keladi. Bu qonuni quyidagicha ifodalaymiz:
Bir qutidagi tasodifiy n ta elementdan r ta element tanlashning eng ehtimol soni:
C(n, r) = n! / r!(n-r)!
Bu yerda n = 12 va r = 3 bo'ladi, shuning uchun:
C(12, 3) = 12! / 3!(12-3)! = (121110) / (321) = 220
Demak, tasodifiy olgan 3 sharlar ichida oq sharlar sonining eng ehtimol soni 220 ta.
Lekin, qutidagi sharlarni tasodifiy olish holda oq sharlar sonining eng ehtimol sonini topish uchun, bizga qutidagi oq sharlar soni va qora sharlar soni alohida kerak. Bu erda, oq sharlar soni 8, qora sharlar soni 4 ta berilgan.
Oq sharlarni tasodifiy olgan 3 sharlar ichida bo'lishi ehtimol bo'lgan barcha holatlarni hisoblash uchun, ikkilik sistemasida 3 ta elementdan iborat sonlarni hisoblashim mumkin. Har bir son 0 yoki 1 ga teng bo'lishi mumkin, va 3 ta elementdan tashkil topgan sonlar bir-biridan farqli bo'lishi shart. Shu sababli, umumiy holatda 2^3=8 ta element bo'ladi.
Lekin bizda oq sharlar soni 8 ta. Demak, faqat oq sharlarni tasodifiy olgan holatlar hisobga olinishi mumkin, qora sharlarning tasodifiy olinishi mumkin emas. Shuning uchun, tasodifiy olgan 3 shar ichida oq sharlar soni 3 ga teng bo'lishi mumkin, va qora sharlar soni 0 ga teng bo'lishi kerak.
Bundan tashqari, tasodifiy olgan 3 shar ichida qora sharlar sonining eng ehtimol soni 0 ga teng bo'ladi, chunki oq sharlar tayinlanishi shart.
Shuningdek, oq sharlarning tasodifiy tanlashining eng ehtimol soni 3 ta oq shar tanlashning eng ehtimol soni C(8, 3) = 56 ga teng bo'ladi.

Demak, tasodifiy tanlashda 3 ta shar olindi, ular ichida oq sharlar sonining taqsimot qonuni quyidagicha ifodalaydi:

P = (oq sharlarning tasodifiy tanlashi soni) / (barcha sharlarning tasodifiy tanlashi soni) = C(8, 3) / C(12, 3) = 56/220 = 0.254
5. Berilgan 15 ta detaldan 10 tasi bo'yalgan, shu sababli qoldiq 5 tasi bo'yalmagan. Tasodifiy tarzda 3 ta detal tanlab olingan. Bizdan so'ralgan, ularning hammasini bo'yalgan bo'lish ehtimoli.
15 ta detaldan 10 tasi bo'yalgan, shu sababli qoldiq 5 tasi bo'yalmagan. Shu 5 ta detaldan tasodifiy tanlov orqali 3 ta tanlansa, ularning hammasini bo'yalgan bo'lish ehtimoli quyidagicha hisoblanadi:
[C(10, 3) * C(5, 3)] / C(15, 3) ≈ 0.2381 yoki 23.81%
Shu bilan birga, olgan 3 ta detalni hammasini bo'yalgan bo'lish ehtimoli 23.81% ga teng.