1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

(2.31)

(2.31) tenglikni (2.30) ayniyatga qo`yamiz:

(2.32)

Bu yerda

(2.33)

(2.5) tenglikka ko`ra

bo`ladi. Bunga asosan (2.33) ayniyatdan

ya’ni

(2.34)

kelib chiqadi. (2.32) tenglikda deb, (2.28) ayniyatga qo`ysak,

(2.35)

kelib chiqadi. funksiyalar uchun, chegaraviy shartlar bajarilishini ko`rsatamiz. Buning uchun quyidagi asimptotikalarni induksiya usulida isbot qilamiz:

(2.36)

(2.37)

(2.38)

bo`lsin. U holda va

bo`ladi. Bu holda Bularga ko`ra

ya`ni

(2.39)

(2.12) formulaga ko’ra

,

ya’ni

(2.40)

o`rinli bo`ladi. (2.39) va (2.40) asimptotikaga ko`ra

, (2.41)

o`rinli bo`ladi. Demak, bo`lgan holda (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. (2.36) – (2.38) asimptotikalarni uchun to`g`ri deb olib, ularni uchun ham to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz. (2.26) formulaga ko`ra:

(2.42)

(2.29) ayniyatga ko`ra:

bo`ladi. (2.42) ga muvofiq

(2.42`)

Bunga ko`ra da

∼

(2.43)

Bu yerda

(2.42`) dan hosila olsak,

∼



(2.44)

kelib chiqadi. (2.44) ga asosan ushbu

(2.45)

asimptotikani topamiz. Shunday qilib, (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. Xuddi shunday usul bilan shunga o`xshash asimptotikalarni bo`lgan holda ham isbot qilish mumkin, bunda o`rnida lar turadi. Bu asimptotikalarga ko`ra bo`ladi.

Endi ushbu

(2.46)

asimptotikani keltirib chiqaramiz. bo`lgan holda funksiya kesmada ildizga ega emasligidan formulaga ko`ra bo`lishi kelib chiqadi (yetarlicha sillliq). (2.46) asimptotika uchun isbot qilindi deb olib, uchun to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz:

Shunga o`xshash fikr bo`lganda ham o`rinli bo`ladi.

Krum almashtirishiga doir misollar keltiramiz.