1. 1-Mavzu: Taqribiy integrallash. Algebraik aniqligi eng yuqori kvadratur formula
Download 195.73 Kb. Pdf ko'rish
|
1-maruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.1-Mavzu: Taqribiy integrallash. Algebraik aniqligi eng yuqori kvadratur formula.
- Interpolyatsion kvadratur formula qurish.
- Nyuton – Kotes formulalari.
- Eng sodda kvadratur formulalar.
- 1.2-Mavzu: Gauss kvadratur formulasi.
- 1.3. Mavzu: Kubatur formulalar. Karrali integrallarni taqribiy hisoblash.
- 1. Kvadratur formulalarni ketma- ket qo’llash.
|
a=x 0 x 1 x 2 . . . b=x n y=f(x) 1.1-Mavzu: Taqribiy integrallash. Algebraik aniqligi eng yuqori kvadratur formula.
Amaliyotda juda ko’p masalalar biror [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lgan f(x) funksiyadan olingan ( )
b a f x dx aniq integralni hisoblashga keltiriladi. Bilamizki integralni hisoblashning aniq formulasi quyidagicha: ( )
( ) ( )
b a f x dx F b F a
(bu yerda F(x) funksiya f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi) Hamma vaqt ham F(x) funksiyani analitik ko’rinishda ifodalab bo’lmaydi. Bundan tashqari f(x) funksiyamiz jadval ko’rinishda berilgan bo’lsa unda F(x) ni umuman aniqlab bo’lmaydi. Shuning uchun bu bobda biz aniq integrallarni taqribiy hisoblash netodlarini qarab chiqamiz.
1 ( ) ( ) b n k k k a f x dx A f x (1) (1) ko’rinishdagi formulaga kvadratur formula deyiladi. Bu yerda k A - lar kvadratur formulaning koeffisiyentlari , k x - lar esa kvadratur formulaning tugun nuqtalari deyiladi. 1 ( ) n k k k A f x - kvadratur yig’indi deyiladi. Agar integrallash chegaralari a,b kvadratur formulaning tugun nuqtalari bo’lsa u holda kvadratur formula yopiq tipdagi aks holda ochiq tipdagi kvadratur formula deyiladi. 1 ( ) ( ) ( ) b n n k k k a R f f x dx A f x - kvadratur formula xatoligi. Interpolyatsion kvadratur formula qurish. Ko’pincha kvadratur formula qurish uchun f(x) funksiya [a;b] oraliqda n ta tugun nuqtalar yordamida interpolyatsiyalanadi:
0 1, ( ) ( )
n n j k n k j j k k j x x f x f x r f x x
0 1, b n n j k k j j k a k j x x A dx x x
belgilab olsak u holda
( ) ( ) b n k k k a f x dx A f x formula bilan hisoblanadi. Nyuton – Kotes formulalari. Integrallash [a,b] chekli oraliqda teng h qadam bilan uzoqlashgan x k =a+k*h
tugun nuqtalar bilan aniqlangan kvadratur formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi
0 ( ) ( ) ( )
n k k k a f x dx b a B f x
0 0 ( 1)
( ) !( )! n n k n k j j k B t j dt n k n k
0 1 0 2 1 0 3 1 2 0 4 1 3 2 0 5 1 4 2 3 1 1 2 1 4 2 , 6 6 1 3 3 , 8 8 7 32 12 4 , , 90 90 90 19 75 50 5 , , 288 289
289 n da B B n da B B B n da B B B B n da B B B B B n da B B B B B B
Eng sodda kvadratur formulalar. 1. To’g’ri to’rtburchaklar formulasi. 0 0
a f(x)dx (b a)f(x ), x [a,b]
2. Trapestiya formulasi 2
a f(a) f(b) f(x)dx (b a) ,
3. Simpson formulasi. 4 6 2 b a b a a b f(x)dx (f(a) f( ) f(b))
4. Umumlashtirilgan to’g’ri to’rtburchak formulasi. 1 b n k k a b a f(x)dx f(x ) n bunda x k -x k-1 =h ,
b a h n 5. Umumlashtirilgan trapestiya formulasi. 1 1
b n k k k a f(x ) f(x ) b a f(x)dx n
bunda x k -x k-1 =h, k=1,2,...,n, b a h n 6. Simpsonning Umumlashtirilgan formulasi. 0 2
4 2 2 1 3 2 1 2 6 4 b n a n n b a f(x)dx [f(x ) f(x ) (f(x ) f(x ) ... n f(x )) (f(x ) f(x ) ... f(x )]
bunda x k =a+0.5hk , k=0,1,...,2n, b a h n . 1.2-Mavzu: Gauss kvadratur formulasi. Gauss tipidagikvadratur formulalar 1 1
( ) ( ) n k k k f x dx A f x ko’rinishda bo’ladi bunda tugun nuqtalar va koeffisiyentlar shunday tanlanadiki u imkon qadar darajasi yuqori bo’lgan algebraik ko’phadlar uchun aniq bo’lsin. Gauss bunday formulani qurish uchun tugun nuqtalarni aniqlashda Lejandr ko’phadlarini ildizlaridan foydalanadi. 2 1
1) ( )
2 !
n n n n d x P x n dx
A k koeffisiyentlar esa quyidagi formula orqali aniqlanadi.
2 2 ' 2 1 ( )
k n k A x P x
Agar integral chegarasi [a;b] oraliqda bo’lsa yani: ( ) b a f t dt
Unda o’zgaruvchini almashtirish yo’li orqali [-1;1] oraliqdaolibkelamiz: 2 2 b a a b t x
1 ( ) ( )
2 b n k k k a b a f t dt A f t 1 1 ( ) 2 2 2 b a b a b a a b f t dt f x dx 1.3. Mavzu: Kubatur formulalar. Karrali integrallarni taqribiy hisoblash. Matematikada analitik usulda yechib bo’lmaydigan ba’zi bir karrali integrallar uchraydi. Bunday integrallarni taqribiy hisoblash uchun kubatur formulalar quriladi. 1 2
2 1 ... ( , ,...,
) ...
( ) ( ) N n n k k k f x x x dx dx dx A f P R f (1) (1) – ko’rinishdagi formulaga kubatur formula deyiladi. Bunda
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , . . , , . . . . . , k k k N k n P P P P x x x nuqtalar to’plami integrallash to’ri, A k (k=1...N) kubatur formula koeffisiyentlari va R(f) qoldiq had deyiladi. Endi kubatur formula qurishni qarab chiqamiz bunda biz ikki karrali integrallarni qaraymiz.
Kubatur formula qurishning eng sodda usuli, bu karrali integralni takroriy integral shaklida tasvirlab, bir karrali integrallar uchun kvadratur formulalarni qo’llashdir. Faraz qilaylik integrallash sohasi Ω to’g’ri burchakli to’rtburchak { ; a x b c y d
} bo’lsin. ( , )
(2) Integralni hisoblash uchun Simpson formulasini ikki marta qo’llaymiz. Buning uchun [a,b] va [c,d] oraliqlarni har birini quyidagi nuqtalar bilan ikkiga bo’lamiz. 0 1 2 0 1 2 , , 2 , , 2 x a x a h x a h b y c y c k y c k d
Bu yerda , 2 2 b a d c h k
Shunday qilib jami to’qqizta nuqtaga ega bo’ldik. Endi (2) integralni quyidagicha yozib Simpson formulasini qo’llaymiz. ( , )
0 1 2 0 1 2 ( , ) 4 ( ,
) ( ,
) 3 ( , ) 4 ( , ) ( ,
) 3
a b b b a a a k I f x y f x y f x y dx k f x y dx f x y dx f x y dx Har bir integralga yana Simpson formulasini qo’llasak, u holda
0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 2 1 0 2 1 2 2 2 ( , ) 4 ( , ) ( , ) 9 4 ( , ) 4 ( , ) ( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) hk I f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y (3)
Bu formulaning qoldiq hadi 5 4 5 4 5 5 8 0 0 1 1 2 2 4 4 4 4 ( , ) ( ,
) ( ,
) ( )
45 45 90 h k f hk f h k f R f x x x y
( ; ) i i a b c d
ko’rinishda bo’ladi. Qoldiq hadining bu ko’rinishidan (3) ko’rinishdagi formula darajasi uchdan ortmaydigan ko’phadlarni aniq integrallaydi. Misol: Simpson formulasi yordamida quyidagi integralni hisoblang. 5 1
2 4 0
( )
x y dxdy I=25.167 Aniqlikni oshirish maqsadida ;
x b c y d
to’g’ri to’rtburhak tomonlarini mos ravishda m va n bo’laklarga bo’lib, hosil bo’gan m*n ta kichik to’rtburchakni har birida Simpson formulasini qo’llab formula hosil qilish mumkin. 2 2 b a d c h va k m n
, 0...2
, 0...2
i j x a i h i m y c j k j n
f(x i ,y j )=f ij belgilash kiritsak 1 1
2 2,2 2 2,2
2 2 ,2
2 0 0 2 1,2 2 2,2
1 2 1,2
2 2 ,2
1 2 1,2
1 ( , )
[ 9 4 ( ) 16 ]
m n i j i j i j i j i j a c i j i j i j i j i j hk f x y dxdy f f f f f f f f f
Download 195.73 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|