1. 2-§. Baslanǵısh ózgeriwlerin optimizaciyalaw bahaları

1.1.1-anıqlaması. matricası tómendegishe bolǵan

Lyapunov funkciyasın baslanǵısh qózǵalısın bahalaw ushın optimal boladı dep ataymız.
bolǵanı sebepli, onda barlıq Lyapunov funkciyalardıń ishinen eń jaqsı bolıp funkciyası esaplanadı, bul funkciyası ushın . (1.1.1) sisteması ushın bunday jaǵdayǵa anıq bir matricalar toparı ushın jetisetuǵınlıǵımız anıq. Bunday funkciyalardıń bar bolıw shártlerin anıqlaymız.
1.1.1-teoreması. Baslanǵısh ózgerisler kópligin optimal bahalawshi Lyapunov funkciyasına (1.1.1) teńlemesi tek sol jaǵdayda iye boladı, egerde oń anıqlanǵan matricası bolsa, bunda , boladı.
Dálillew. Differenciallıq teńlemeler sistemasına uqsas (1.1.2) teńlemesin matricasın diagonallıq túrine alıp keletuǵın matricasına kóbeytemiz. Jetkilikli shártlerin keltirip shıǵarıwda dep esaplaymız.
funkciyasınıń anıqlanıw oblastı ashıq konus boladı. Bunda dál tómengi shegarasın tabıw máselesi qaralǵanı sebepli, mınanday jaǵday bolıwı múmkin, yaǵnıy , bul jerde konustıń qaptal beti. Bul jaǵdayda hám oń anıqlanǵan matricalardıń izbe-izligi bar bolıp, olar (1.1.2) teńlemesin qanaatlandıradı hám boladı.
1.2.1- lemması. Meyli qálegen bir ushın hám oń anıqlanǵan matricaları bar bolıp, olar (1.1.2)ni hám qanaatlandırsın. Onda (1.1.2)ni hám qanaatlandıratuǵın hám izbe-izlikleri bar boladı. Biraq izbe izligi oń anıqlanǵan matricasına jıynaqlı boladı, al izbe-izligi tolıq emes oń anıqlanǵan matricasına jıynaqlı boladı.
Dálillew. Bul lemmanıń dálilleniwı tiykarınan 1.2.1-lemmanıń dálilleniwine uqsas boladı. Bunda izbe izligi dúzilip hám onnan jıynaqlı bolatuǵın úles izbe-izligi ajıratıp alınadı. operatorı aynımalı emes bolǵanı ushın izbe izliginiń jıynaqlı bolatuǵınlıǵınan nıń jıynaqlılıǵı kelip shıǵadı. Bul lemmadan paydalanıp kelesi tastıyıqlawlar dálillenedi.