1-2 tajriba mashg'ulotlari. Algebraik va transendent tenglamalarni yechish usullari va algoritmlari

2.5-masala. tenglamaning [-1,0] oraliqdagi yechimini =0.01 aniqlikda toping.
Yechish. Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan
x=(e^x-2)/10
ko‘rinishga keltiramiz. Endi (x)=(e^x-2)/10 funksiya uchun [-1,0] oraliqda 2.5-teoremaning barcha shartlari bajarilishini ko‘rsatamiz:
1) [-1,0] da (x) funksiya '(x)=e^x/10 uzluksiz hosilaga ega va (x)>0 ekanligini payqash qiyin emas.
2) [-1,0] da (x) o‘suvchi bo‘lganligi sababli, uning qiymatlari uchun
(-1)=-0.163>-1 ,(0)=-0.1<0 ekanligidan -1<(x)<-0.1, ya’ni (x)(-1;0) kelib chiqadi.
3) (x)= ikkinchi tartibli hosila [-1,0] oraliqda musbat bo‘lgani uchun (x)-hosila o‘suvchi va e^-1/10='(-1)<'(0)=e⁰/10 ekanligidan ni olamiz.
Demak, x=(e^x-2)/10 tenglama uchun iteratsiya usulini qo‘llash mumkin.
Eslatma. Agar e^x -10x -2=0 ni x ga nisbatan yechib
x=ln(10x+2)
ko‘rinishga keltirsak, (x)=ln(10x+2) bo‘lib, bu funksiya [-1,0] oraliqda 2.5-teorema shartlarini qanoatlantirmaydi. Demak, x=ln(10x+2) tenglamaga iteratsiya usulini qo‘llab bo‘lmaydi.
Endi =0.01 aniqlik bilan x=(e^x-2)/10 tenglamani iteratsiya usuli bilan yechamiz. Dastlabki yaqinlashish sifatida t₀=0 ni olamiz. Bu holda
t₁= (t₀)= (0)=(e⁰-2)/10=-0.1;
t₂=(t₁)=(-0.1)=(e^-0.1 -2 )/10= -0,1095.
t₂-t₁=0.0095< bo‘lganligi uchun t=-0.1095-0.11 ni berilgan tenglamaning 0,01 aniqlikdagi taqribiy ildizi uchun qabul qilamiz.
Iteratsiya usuli bilan tenglama yechimini topish uchun dastur tuzamiz.
Masaladagi berilganlar asosida ko’rsatilgan usulda hisoblashning algoritmini 2.9-jadvalda beramiz :
2.9-jadval