1. 4-§. Fure qatorining yaqinlashuvchiligi

2. Lokallashtirish prinspiga asosan

bo'ladi. Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, uchun
bo'ladi.

Endi (20.28) tenglikning o'ng tomonidagi birinchi integralni baholaylik. Uni ni tanlab olish hisobiga etarlicha kichik qila olishimiz mumkinligini ko'rsataylik.
Shartga ko'ra, funksiya da bo’lakli-differensiallanuvchi. Binobarin. nuqtada uning bir tomonli chekli hosilalari, xususan, o'ng hosilasi

mavjud. Demak, shunday topiladiki bo'lganda
bo'ladi.

Shungdek, shunday topiladiki, bo'lganda

bo'ladi.
Agar deyilsa, unda ixtiyoriy uchun


bo'ladi.
Natijada (20.28), (20.29) va (20.30) munosabatlardan olinganda ham, shunday topiladiki, barcha uchun bo'lishi kelib chiqadi.
Ikkinchi integral

ham xuddi shunga o'xshash baholanadi va bo'lishi topiladi. Demak, olinganda ham, shunday topiladiki, barcha uchun
bo'ladi. Bu esa

ekanini bildiradi.

Shunday qilib, funsiyaning Fure qatori da yaqinlashuvchi, uning yig'indisi esa ga teng .
Ravshanki, teorema shartlarini qanoatlantiruvchi funsiyaning uzluksizlik nuqtalarida bo'ladi.
bo'lganda ushbu bobning ida aytilgan ushbu

tengliklar e'tiborga olinsa, unda
bo'ladi. Demak,


ya'ni
bo'ladi.

2-natija. Agar davrli funksiya da uzluksiz, bo'laklidifferensiallanuvchi va bo'lsa, bu funksiyaning Fure qatori da yaqinlashuvchi, yig'indisi
bo'ladi.

20.5-misol. Ushbu

funksiyani Fure qatoriga yoyilsin.
Ma'lumki;

Ravshanki, funksiya da oraliqda 2-natijaning shartlarini qanoatlantiradi. Shu natijaga ko'ra, da uning Fure qatori yaqinlashuvchi, yig'indisi esa ga teng bo'ladi.

20.6-misol. Ushbu

funksiyani Fure qatoriga yoyilsin.
Fure koeffitsientlari

bo'ladi. Demak, berilgan funksiyaning Fure qatori

bo'ladi. Agar bu funksiya 2-natijaning shartlarni bajarishini e'tiborga olsak, unda
bo'lishini topamiz.

Keyingi tenglikdan deyilsa
ya'ni


kelib chiqadi.
20.7-misol. Quyidagi

funksiya Fure qatoriga yoyilsin.
«Bu funksiya yuqoridagi 2-teorema shartini qanoatlantirishini ko'rish qiyin emas.
Berilgan funksiyaning Fure koeffitsientlarini topib, Fure qatorini yozamiz:
Demak,


Endi koeffitsientlarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, uchun

da esa

bo'ladi.
20.8-misol. Ushbu

funksiya Fure qatoriga yoyilsin.
«Bu funksiya yuqoridagi teoremaning shartlarini qanoatlantiradi. Berilgan funksiyaning Fure koeffitsientlarini hisoblab, uning Fure qatorini topamiz:

Demak,

Shunday qilib, berilgan funksiyaning Fure qatori

bo'ladi va uning yig'indisi

bo'ladi. 71-chizmada funksiyaning va uning Fure qatorining va qismiy yig'indilari tasvirlangan.

71-chizma