1-6-ma'ruzalar

1-ma’ruza. To‘plamlar ustida amallar.
Akslantirishning turlari (2 soat)
Darsning rejasi:

1. 
   To‘plamlarning yig‘indisi ta’rifi va tasviri.
   
2. 
   To‘plamlarning kesishmasi ta’rifi va tasviri.
   
3. 
   To‘plamlarning ayirmasi ta’rifi va tasviri.
   
4. 
   To‘plamlarning simmetrik ayirmasi ta’rifi va tasviri.
   
5. 
   Ikkilik munosabatlari.
   
6. 
   Akslantirishning turlari.
   

Adabiyotlar: [1],[2], [3], [6]
Darsning maqsadlari:
Ta’limiy maqsadi: talabalarga to‘plamlarning yig‘indisi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi ta’rifi va tasvirini o‘rgatish, to‘plamning to‘ldiruvchisi, ikkilik munosabatlari bilan tanishtirish.
Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini rag‘batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko‘nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o‘zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish hamda fanga bo‘lgan qiziqishni o‘stirish.
Tayanch iboralar. to‘plamlarn, yig‘indisi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi, to‘plamning to‘ldiruvchisi, ikkilik munosabatlari, syurektiv akslantirish, inektiv akslantirish, biyektiv akslantirish.
Darsning jihozlari: auditoriya doskasi, darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug‘atlar, atamalar, o‘tilgan dars mavzusi bo‘yicha savollar va muammoli toshiriqlar majmuasi, testlar, kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor.
Dars o‘tish usuli: avval o‘tilgan mavzu qay darajada o‘zlashtirilganligini tekshirish, o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish bo‘yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo‘yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr-mulohazalarni bayon qilishga o‘rgatish, savol-javob usulidan foydalanib, o‘zlashtirishga erishish; asosiy iboralarga alohida izoh berish; o‘tilgan mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash.
Darsning borishi. Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish. Talabalarni o‘tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish.
O‘tilgan mavzular bo‘yicha (8 daqiqa): talabalarning o‘tgan ma’ruzada ko‘rsatilgan o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o‘z varianti bo‘yicha yozma javob berishi ko‘zda tutiladi).
1- ma’ruza bo‘yicha o‘z-o‘zini tekshirish savollari

1. 
   To‘plamlarning yig‘indisi ta’rifi va tasvirini ayting.
   
2. 
   To‘plamlarning kesishmasi ta’rifi va tasvirini ayting.
   
3. 
   To‘plamlarning ayirmasi ta’rifi va tasvirini ayting.
   
4. 
   To‘plamlarning simmetrik ayirmasi ta’rifi va tasvirini ayting.
   
5. 
   Akslantirishning turlari.
   
6. 
   Syuryektiv akslantirish ta’rifi va misol.
   
7. 
   Inyektiv akslantirish ta’rifi va misol.
   
8. 
   Biyektiv akslantirish ta’rifi va misol.
   

1- ma’ruza bo‘yicha muammoli topshiriqlar

1. 
   (1.1) tenglikni ko‘rsating.
   
2. 
   (1.2) tenglikni isbotlang. 3. (1.4) tenglikni isbotlang.
   

Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa):
Asosiy belgilashlar. Matematikada juda xilma-xil to‘plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar to‘plami, tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. «To‘plam» so‘zining sinonimlari sifatida «ob’ektlar majmuasi» yoki «elementlar jamlanmasi» so‘z birikmalaridan foydalaniladi.
To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz.
To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A,B,…, ularning elementlarini esa kichik - ab, ,… harflar bilan belgilaymiz. «a element

1. 
   to‘plamga tegishli» iborasi «a∈A» shaklda yoziladi. «a ∉ A» yozuv esa a element A to‘plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb ataladi va A ⊂ B ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. A va B to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, ular teng to‘plamlar deyiladi va A = B shaklda belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi ([1] ga qarang). Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, x² +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun maxsus «bo‘sh to‘plam» nomi berilgan va uni belgalashda ∅ simvoldan foydalaniladi. Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar deyiladi.
   

To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisi yoki birlashmasi deyiladi va C = A∪B shaklda belgilanadi (1.1-chizmaga qarang).
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi A_α to‘plamlarning yig‘indisi ham shunga o‘xshash aniqlanadi: A_α to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat shaklda belgilanadi.
Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2-chizmaga qarang) va A ∩ B shaklda belgilanadi.

1.1 – chizma C=AUB 1.2 – chizma C=A∩B
Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi deb A_α to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar
to‘plami tushuniladi.
To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra
kommutativ va assotsiativdir, ya’ni
A∪B = B ∪A, (A∪B)∪C = A∪(B ∪C) A∩B = B ∩A, (A∩B)∩C = A∩(B ∩C).
Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan
(A ∪ B)∩C = (A ∩C)∪(B ∩C), (1.1)
(A ∩ B)∪C = (A ∪C)∩(B ∪C). (1.2)
Biz (1.1) va (1.2) tengliklarning isboti murakkab bo‘lmaganligi uchun ularni o‘quvchiga havola qilamiz.
Endi A va B to‘plamlar ayirmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlar ayirmasi deb A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plamga aytiladi va A\B shaklda belgilanadi (1.3-chizmaga qarang).
Ba’zan (masalan o‘lchovlar nazariyasida), A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini kiritish maqsadga muvofiq bo‘ladi. A\B va B \A to‘plamlarning birlashmasidan iborat to‘plamga A va

2. 
   to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va A∆B shaklda belgilanadi, ya’ni A∆B = (A\B)∪(B \A) (1.4-chizmaga qarang).
   

Ko‘p hollarda qandaydir universal E to‘plamning qism to‘plamlari qaraladi. Masalan, E tekislik, A tekislikdagi biror to‘plam bo‘lsin. Bu holda E \A ayirma A to‘plamning to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va A^' yoki CA shaklda belgilanadi (1.5-chizmaga qarang).

To‘plamlar nazariyasi va uning tadbiqlarida muhim o‘rin tutadigan ikkilik prinsipi deb nomlanuvchi quyidagi ikki munosabatni keltiramiz:
1.1. Yig‘indining to‘ldiruvchisi to‘ldiruvchilar kesishmasiga teng:
E \ A_α (E \A_α ). (1.3)
1.2. Kesishmaning to‘ldiruvchisi to‘ldiruvchilar yig‘indisiga teng:
E \ A_α (E \A_α ). (1.4)
Ikkilik prinsipi shundan iboratki ixtiyoriy tenglikdan, agar bu tenglik qandaydir universal E to‘plamning qism to‘plamlari ustida bo‘lsa, ikkinchi ikkilik tenglikka o‘tish mimkin, buning uchun barcha qaralayotgan to‘plamlar ularning to‘ldiruvchilari bilan, to‘plamlar kesishmasi-birlashma bilan, birlashmasi-kesishma bilan almashtiriladi.
Biz (1.3) tenglikning isbotini keltiramiz. (1.4) tenglik shunga o‘xshash isbotlanadi.
Isbot. x E A ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda x ∈ E va x A bo‘ladi. Bundan ixtiyoriy α uchun x ning A_α to‘plamga tegishli emasligiga kelamiz. Demak, x element A_α to‘plamlarning to‘ldiruvchilarida yotadi. Shunday qilib, ixtiyoriy α uchun x ∈ E \A_α munosabat o‘rinli, bundan biz x (E \A_α) ga ega bo‘lamiz. Bu esa
E \ A_α (E \A_α ). (1.5)
munosabatni keltirib chiqaradi. Endi teskari munosabatni isbotlaymiz. Agar x (E \A_α) bo‘lsa, u holda barcha α larda x ∈ E \A_α bo‘ladi va x element A_α to‘plamlarning birortasiga ham tegishli bo‘lmaydi, bu esa x A ekanligini bildiradi. Demak, x E A ekan. Bundan
biz
E \ A_α (E \A_α ). (1.6)
munosabatga kelamiz. (1.5)-(1.6) munosabatlar (1.3) tenglikni isbotlaydi.
Akslantirishlar
Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi biror to‘plam bo‘lsin. Agar har bir x ∈ X songa f qoida bo‘yicha aniq bir y son mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda f funksiya aniqlangan deyiladi va y = f(x) shaklda yoziladi. Bunda X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo‘lgan E(f) to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni E(f) = {y : y = f(x), x ∈ X }.
Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir x ∈ X elementga biror f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos qo‘yilsa, u holda X to‘plamda aniqlangan Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. Bundan keyin biz ixtiyoriy tabiatli to‘plamlar bilan ish ko‘ramiz (shu jumladan sonli to‘plamlar bilan ham), shuning uchun ko‘pgina hollarda funksiya termini o‘rniga akslantirish atamasini ishlatamiz.
X to‘plamda aniqlangan va Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish uchun f : X →Y belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. N − natural sonlar to‘plami, Z − butun sonlar to‘plami, Q − ratsional sonlar to‘plami, R − haqiqiy sonlar to‘plami, C − kompleks sonlar to‘plami, R₊ =[0, ∞),
Z₊ ={0}N hamda Rⁿ sifatida n −o‘chamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi.
Endi f : X →Y akslantirishga misollar keltiramiz.
1.1. f : R→R, f(x) = x².
1.2. g : R→R, g(x) = [x]. Bu yerda [x] belgi x sonining butun qismi.
1.3. Dirixle funksiyasi D:R→R
1, agar x ∈Q
D(x) ₌^ (1.7)
_0, agar x ∈R \ Q
1.4. Riman funksiyasi R : R→R,
R(x) = n1 , agar x = m n qisqarmas kasr (1.8)


 ^0, agar x ∈R \ Q.
1.5. Ortogonal proyeksiyalash funksiyasi P : R² → R, P(x,y) = x .
1.6. Sferik akslantirish S : R³ →R, S(x₁,x₂,x₃) = x₁² +x₂² +x₃².
Yuqorida, 1.1-1.6 misollarda keltirilgan akslantirishlarning qiymatlar sohalarini toping.

Yechish. 1.1-misolda keltirilgan f :R→R akslantirishning qiymat-lar sohasi E(f) = [0,∞) dan iborat. Chunki barcha x ∈R lar uchun x² ≥ 0 va ixtiyoriy y ∈ [0,∞) uchun f( y) = y tenglik o‘rinli.
1.2-misolda keltirilgan g : R→R, g(x) = [x] akslantirishning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko‘ra E(g) = Z dan iborat.
Dirixle funksiyasi D:R→R ning qiymatlar sohasi, aniqlanishiga ko‘ra E(D) ={0;1} ikki nuqtali to‘plamdan iborat.
Riman funksiyasi R : R→R ning qiymatlar sohasi,

 1 1 1 