1-6-ma'ruzalar
Tekislikdagi to‘plamning o‘lchovi
Download 0.82 Mb.
|
1-6-ma\'ruzalar
|
Tekislikdagi to‘plamning o‘lchovi. Biz bu paragrafda tekislikda Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam ta’rifini beramiz va o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalarini isbotlaymiz.
Elementar to‘plam o‘lchovi. Aytaylik a,b,c va d lar ixtiyoriy sonlar bo‘lsin. Tekislikda a ≤ x ≤ b, a ≤ x c ≤ y ≤ d, c ≤ y < d, c < y ≤ d, c < y < d tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to‘plamlar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamlarni to‘g‘ri to‘rtburchaklar deb ataymiz. Bizga a ≤ x ≤b, c ≤ y ≤ d, tengsizliklar bilan aniqlangan to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan bo‘lsin. Agar a 5.1-lemma. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qiladi. Isbot. a,b,c va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to‘g‘ri to‘rtburchak a = b bo‘lganda bo‘sh to‘plamni aniqlaydi, demak ∅∈ S Ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning kesishmasi to‘g‘ri to‘rtburchakdir (5.1chizmaga qarang), ya’ni P1,P2 ∈ S dan P1 ∩ P2 ∈ S ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik P = Pabcd to‘g‘ri to‘rtburchak P1 = Pa1bc1 1d1 to‘g‘ri to‘rtburchakni o‘zida saqlasin. U holda a ≤ a1 ≤b1 ≤b, c ≤ c1 ≤ d1 ≤ d munosabatlar o‘rinli. P \ P1 ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin. P \P1 = P2 ∪ P3 ∪ P4 ∪ P5, bu yerda (6.2-chizmaga qarang) P2 = Paa1cd, P3 = Pa1bd1d, P4 = Pbbcd1 1, P6 = Pa1b1cc1 . Demak, tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi S yarim halqa tashkil qilar ekan. ∆ y 5.1 – chizma 5.2 – chizma 5.1-ta’rif. S yarim halqadan olingan va a,b,c,d sonlari bilan aniqlangan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) P = Pabcd to‘g‘ri to‘rtburchak uchun m(P) = (b −a)(d −c) sonni mos qo‘yamiz, agar P bo‘sh to‘plam bo‘lsa m(P) = 0 deymiz va m : S → R to‘plam funksiyasini o‘lchov deymiz. Shunday qilib, S dagi har bir P to‘g‘ri to‘rtburchakka uning o‘lchovi - m(P) = (b −a)(d −c) son mos qo‘yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1) m(P) - manfiy bo‘lmagan haqiqiy son. 2) m : S → R o‘lchov additiv, ya’ni agar n P = ∪ Pk, Pi ∩Pk = ∅, i ≠ k k=1 n bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli m(P) = ∑m(Pk ) . k=1 Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda m o‘lchovni barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi S dan kengroq bo‘lgan sinfga davom ettirishdan iborat. Shu maqsadda M(S) bilan S yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz. 5.2-ta’rif. M(S) halqa elementlari elementar to‘plam deyiladi. 3-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy A ∈ M(S) to‘plam chekli sondagi o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yig‘indisi shaklida ifodalanadi va aksincha. 1-xossaga ko‘ra quyidagi tasdiq o‘rinli. 1-lemma. Ikki elementar to‘plamning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar to‘plam bo‘ladi. Endi M(S) halqadagi to‘plamlarning, ya’ni elementar to‘plamlarning o‘lchovi tushunchasini kiritamiz. n 3-ta’rif. Har bir A = ∪ Pk ∈ MS( ) elementar to‘plamga k=1 n m′(A) = ∑m(Pk ) k=1 sonni mos qo‘yuvchi m′ : MS( ) → R moslikni aniqlaymiz. m′(A) miqdorni A to‘plamning o‘lchovi deb ataymiz. Elementar to‘plamlar sistemasi M(S) da aniqlangan m′ funksiyaning qiymati A elementar to‘plamni chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisiga yoyish usulidan bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, {Pk,k = 1,2,…,m} va {Qj,j = 1,2,…,n} larning har biri o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemalari bo‘lib, m n A = ∪ Pk = ∪Qj k=1 j=1 tenglik o‘rinli bo‘lsin (6.3 va 6.4-chizma). U holda ikkita Pk va Qj to‘g‘ri to‘rtburchaklarning kesishmasi Pk ∩Qj to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligidan A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan Pk ∩Qj to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi shaklida, ya’ni m n A = ∪ ∪(Pk ∩Qj ) k=1 j=1 ko‘rinishda tasvirlanadi va m m n m′(A) = ∑ m(Pk ) = ∑ ∑ m(Pk ∩Qj ), k=1 k=1 j=1 n n m m′(A) = ∑ m(Qj ) = ∑ ∑ m(Pk ∩Qj ) j=1 j=1 k=1 tengliklar o‘rinli. Oxirgi tengliklar ko‘rsatadiki, A elementar to‘plamning o‘lchovi m′(A) uning to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi shaklida tasvirlanish usulidan bog‘liq emas ekan, ya’ni elementar to‘plam o‘lchovi m′ ning aniqlanishi korrekt ekan. Agar A ∈ M(S) to‘plam to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lsa, u holda m′(A) = m(A) bo‘ladi. Agar A ∈ M(S) to‘plam chekli sondagi o‘zaro kesishmaydigan A1,A2,…,An elementar to‘plamlarning yig‘indisi shaklida tasvirlansa, n ya’ni A = ∪ Ak u holda k=1 n m′(A) = ∑ m′(Ak ) (5.1) k=1 tenglik o‘rinli. Haqiqatan ham, A ∈ M(S) bo‘lganligi uchun mk Ak = ∪ Pkj , bu yerda {Pkj } - o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri j=1 to‘rtburchaklar sistemasi. U holda n mk n mk n A = ∪ ∪ Pkj va m′(A) = ∑∑m(Pkj ) = ∑m′(Ak ). k=1 j=1 k=1 j=1 k=1 (5.1) tenglik m′ o‘lchovning additivlik xossasini ifodalaydi. 5.1-teorema. Agar A ∈ M(S) va {An }− elementar to‘plamlarning chekli yoki sanoqli sistemasi bo‘lib, A ⊂ ∪An bo‘lsa, n m′(A) ≤ ∑m′(An ) (5.2) n tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Ixtiyoriy ε > 0 va A elementar to‘plam uchun m′ A m′ A (5.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi va A to‘plamda saqlanuvchi yopiq A elementar to‘plam mavjud (6.5-chizmaga qarang, n > ). ∼ Har bir elementar An to‘plam uchun ochiq An ⊃ An elementar to‘plam mavjudki (6.6-chizmaga qarang) ε m′ A m′ A n+1 (5.4) ∼ tengsizlik bajariladi. A va An to‘plamlarning tanlanishiga ko‘ra A ⊂ ∪Aɶn munosabat o‘rinli bo‘ladi. 5.5 – chizma 5.6 – chizma Ochiq to‘plamlar sistemasi {Aɶn } dan Geyne-Borel lemmasiga ko‘ra A ni qoplovchi chekli sondagi Aɶn1,Aɶn2,…,Aɶn5 to‘plamlarni ajratish mumkin. A to‘plam chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar bilan qoplangani uchun s m′ A m′ A (5.5) i=1 i tengsizlik o‘rinli. (6.3) va (6.5) hamda (6.4) lardan m′ A m′ A m′ A m′ A 2 i=1 i 2 n=1 n n 2 n=1 n=1 2 n=1 ni hosil qilamiz va ε > 0 ning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi. ∆ 5.1-teorema tasdig‘idagi (5.2) tengsizlik, m′ o‘lchovning yarim additivlik xossasi deyiladi. m′ o‘lchovning yarim additivlik xossasidan uning σ - additivlik xossasi kelib chiqadi, ya’ni quyidagi teorema o‘rinli. 5.2-teorema. A elementar to‘plam sanoqli sondagi o‘zaro kesishmaydigan A1,A2,…,An,… elementar to‘plamlarning yig‘indisidan iborat, ya’ni A An bo‘lsin. U holda quyidagi tenglik o‘rinli n=1 m′ A m′ A . (5.6) n=1 Isbot. m′ o‘lchovning chekli additivlik xossasiga ko‘ra ixtiyoriy N ∈ N uchun N N m′(A) ≥ m′( ∪ An ) = ∑ m′(An ) n=1 n=1 tengsizlik o‘rinli. Agar N → ∞ da limitga o‘tsak, m′ A m′ A n=1 bo‘ladi. 5.1-teoremaga ko‘ra ∞ m′(A) ≤ ∑m′(An ). n=1 Oxirgi ikki munosabatdan (5.6) tenglik kelib chiqadi. ∆ Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar QuyidagiA⊂ [0,1] to‘plamning o‘lchovini toping: A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda nol qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 2 qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 7 faqat bir marta qatnashadigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 3 hech bo‘lmaganda bir marta qatnashadigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sonlari qatnashadigan sonlar to‘plami. A-uchlik kasr ko‘rinishida yozilganda nol qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-uchlik kasr ko‘rinishida yozilganda 2 soni qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-uchlik kasr ko‘rinishida yozilganda 2 raqami faqat bir marta qatnashadigan sonlar to‘plami. 6-ma’ruza. Tekislikdagi to‘plam o‘lchovi. Lebeg o‘lchovi (2 soat) Darsning rejasi: Ixtiyoriy to‘plam o‘lchovi. Tashqi o‘lchov. Tashqi o‘lchov xossalari. Adabiyotlar: [1],[2], [3], [6] Darsning maqsadlari: Ta’limiy maqsadi: talabalarni tekislikdagi ixtiyoriy to‘plamlar o‘lchovi, tashqi o‘lchov xossalari bilan tanishtirish. Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini rag‘batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko‘nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini, muloqot madaniyatini rivojlantirish. Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o‘zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish hamda fanga bo‘lgan qiziqishni o‘stirish. Tayanch iboralar: elementar to‘plam, elementar to‘plamlar qoplamasi, tashqi o‘lchov. Darsning jihozlari: auditoriya doskasi, darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug‘atlar, atamalar, o‘tilgan dars mavzusi bo‘yicha savollar va muammoli toshiriqlar majmuasi, testlar, kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor. Dars o‘tish usuli: avval o‘tilgan mavzu qay darajada o‘zlashtirilganligini tekshirish, o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish bo‘yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo‘yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr-mulohazalarni bayon qilishga o‘rgatish, savoljavob usulidan foydalanib, o‘zlashtirishga erishish; asosiy iboralarga alohida izoh berish; o‘tilgan mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash. Darsning borishi. Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish. Talabalarni o‘tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish. O‘tilgan mavzular bo‘yicha (8 daqiqa): talabalarning o‘tgan ma’ruzada ko‘rsatilgan o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o‘z varianti bo‘yicha yozma javob berishi ko‘zda tutiladi). 6- ma’ruza bo‘yicha o‘z-o‘zini tekshirish savollari Tashqi o‘lchov, Tashqi o‘lchovning monotonlik xossasi. Tashqi o‘lchovning additivligi 6- ma’ruza bo‘yicha muammoli topshiriqlar QuyidagiA⊂ [0,1] to‘plamning o‘lchovini toping: A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda nol qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 2 qatnashmaydigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 7 faqat bir marta qatnashadigan sonlar to‘plami. A-o‘nli kasr ko‘rinishida yozilganda 3 hech bo‘lmaganda bir marta qatnashadigan sonlar to‘plami. Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa). Tekislikdagi to‘plamlarning Lebeg o‘lchovi. Geometriya va klassik analizda uchraydigan to‘plamlar faqatgina elementar to‘plamlardan iborat bo‘lmaydi. Shu sababli o‘lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan holda elementar to‘plamlar sistemasi M(S) dan kengroq to‘plamlar sistemasi uchun aniqlashga harakat qilamiz. Lebeg o‘lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chekli, balki cheksiz sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda birdaniga «cheksiz o‘lchov» li to‘plamlarga duch kelmaslik uchun, dastlab E = {(x,y): 0 ≤x ≤1, 0 ≤y ≤1} birlik kvadratda saqlanuvchi to‘plamlar bilan chegaralanamiz. 6.4-ta’rif. Ixtiyoriy A ⊂ E to‘plam uchun µ*(A) = inf ∑m(Pk ) (6.1) A⊂∪Pk k k son A to‘plamning tashqi o‘lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sistemalari bo‘yicha olinadi. 6.1-eslatma. Agar A−elementar to‘plam bo‘lsa, u holda µ*(A) = m′(A). Haqiqatan ham, A−elementar to‘plam P1,P2,…,Pn to‘g‘ri to‘rtburchaklarning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlansin, u holda n µ*(A) ≤ ∑m(Pk ) = m′(A). (6.2) k=1 {Pk } to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi A to‘plamni qoplaydi, shuning uchun (6.2) o‘rinli. Ikkinchi tomondan, {Qj} sistema A to‘plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli sondagi ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi bo‘lsa, 6.1-teoremaga ko‘ra m′(A) ≤ ∑m(Qj ) kelib chiqadi. Shuning uchun j m′(A) ≤ inf ∑m(Qj ) = µ*(A). (6.3) j Demak, (6.2) va (6.3) lardan m′(A) = µ*(A) tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, M(S) da m′ va µ* o‘lchovlar ustma-ust tushar ekan. ∆ 6.3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi {An } to‘plamlar sistemasi uchun A ⊂ ∪An bo‘lsa, u holda n µ*(A) ≤ ∑µ*(An ) n tengsizlik o‘rinli. Xususiy holda, agarA ⊂ B bo‘lsa, µ*(A) ≤ µ*(B) bo‘ladi. Isbot. Ixtiyoriy ε > 0 va har bir An uchun tashqi o‘lchov ta’rifiga ko‘ra to‘g‘ri to‘rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli {Pnk } sistemasi mavjudki, An ⊂ ∪k Pnk va ∑m(Pnk ) ≤ µ*(An )+ k bo‘ladi. U holda A ⊂ ∪∪n k Pnk va µ*(A) ≤ ∑∑m(Pnk ) ≤ ∑µ*(An )+ ε n k n tengsizlik o‘rinli. ε > 0 sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi. ∆ Ma’lumki, elementar to‘plamlar sistemasi M(S) da m′ va µ* lar ustma-ust tushadi. Demak, 6.1-teorema 6.3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi. 6.5-ta’rif. BizgaA ⊂ E to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy ε> 0 uchun shunday B ⊂ E elementar to‘plam mavjud bo‘lib, µ* (A∆B) < ε tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Agar A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, uning o‘lchovi deb tashqi o‘lchovini qabul qilamiz. Faqat o‘lchovli to‘plamlar sistemasida aniqlangan µ* to‘plam funksiyasi Lebeg o‘lchovi deb ataladi va u µ bilan belgilanadi. Shunday qilib, o‘lchovli to‘plamlar sistemasi M(E) va unda Lebeg o‘lchovi µ aniqlandi. Demak, ixtiyoriy A ∈ M(E) uchun µ(A) = µ* (A). Bizning asosiy maqsadimiz o‘lchovli to‘plamlar sistemasi M(E) ni chekli yoki sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan yopiqligini ko‘rsatish, ya’ni M(E) ning σ - algebra tashkil qilishini isbotlashdan iborat. 6.2-eslatma. Agar (6.1) tenglikda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi barcha elementar to‘plamlar bo‘yicha olinsa, A to‘plamning Jordan ma’nosidagi tashqi o‘lchovi hosil bo‘ladi, u j*(A) bilan belgilanadi, ya’ni n j*(A) = infn ∑m(Pk ). A⊂∪ Pk k=1 k=1 Ushbu j*(A) = 1− j*(E \A) miqdor A to‘plamning Jordan ma’nosidagi ichki o‘lchovi deyiladi. Agar j*(A) = j*(A) bo‘lsa, u holda A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Shuni ta’kidlash joizki, agar A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, u Lebeg ma’nosida ham o‘lchovli to‘plam bo‘ladi va bu o‘lchovlar o‘zaro teng bo‘ladi. Hozir biz Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol keltiramiz. 6.1-misol. A ⊂ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqtalar toplami bo‘lsin. Uning Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida emasligini isbotlang. Isbot. A va E \A to‘plamlar E da zich bo‘lganligi uchun j*(A) = 1, j*(E \A) = 1 tengliklar o‘rinli. Bu yerdan j*(A) = 0 va j*(A) ≠ j*(A). Demak, A to‘plam Jordan ma’nosida o‘lchovli emas. Ma’lumki, A - sanoqli to‘plam (6.3-misolga qarang), shuning uchun uning elementlarini (xk,yk),k ∈N ko‘rinishda nomerlab chiqish mumkin. Shunday ekan A P , P (x,y): x x x , y y y . k=1 Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k ∈ N uchun m(Pk ) = 0. Bu yerdan µ*(A) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta’kidlash lozimki, tashqi o‘lchovi nolga teng bo‘lgan har qanday to‘plam o‘lchovli to‘plamdir. Buning uchun elementar to‘plam sifatida B = ∅ ni olish yetarli: µ*(A∆B) = µ*(A∆∅) = µ*(A) = 0 < ε. Demak, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam. Shunday qilib, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli bo‘lgan, lekin Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol bo‘ladi. ∆ Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|