1-6-ma'ruzalar

A∈S, A₁ ∈S va A₁ ⊂ A ekanligidan S sistemaning o‘zaro kesishmaydigan A₂,…,A_n cheklita elementlari mavjud bo‘lib,

n
A\A₁ = ∪ A_k tasvir o‘rinli bo‘ladi.
k=2
Agar A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan A₁,A₂,…,A_n to‘plamlar birlashmasidan iborat bo‘lsa, bu birlashma A to‘plamning «chekli yoyilmasi» deyiladi.
Ixtiyoriy S to‘plamlar halqasi yarim halqa bo‘ladi, chunki A va
A₁(A₁ ⊂ A) to‘plamlar S ga tegishli bo‘lsa, u holda A₂ = A\A₁ ∈ S bo‘lib, A = A₁ ∪ A₂ chekli yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Demak, har qanday halqa yarim halqa bo‘lar ekan. Quyida biz shunday yarim halqaga misol keltiramizki, u halqa bo‘la olmaydi.
4.5. Sonlar o‘qidagi barcha [a, b) yarim ochiq intervallar sistemasi- S yarim halqa bo‘lishini isbotlang.
Isbot. S bo‘sh [a, a) = ∅ to‘plamni saqlaydi. S to‘plamlar kesishmasi amaliga nisbatan yopiq, ya’ni [a,b), [c,d)∈S munosabatdan [a, b) [c, d)∈S munosabat kelib chiqadi. [a, b)∈S, [a₁, b₁)∈S va [a₁, b₁) ⊂[a, b) ekanligidan [a, b) \[a₁, b₁) = [a, a₁) [b₁, b) tasvir o‘rinli hamda [a, a₁) va [b₁, b) lar S ga qarashli. Demak, S yarim halqa bo‘ladi. ∆
4.6. 4.5-misolda keltirilgan sistemaning halqa bo‘la olmasligini isbotlang.
Isbot. Buning uchun S sistemaning to‘plamlar simmetrik ayirmasi amaliga nisbatan yopiq emasligini ko‘rsatish yetarli. S sistemadan olingan A =[0, 5) va B =[1, 3) to‘plamlarning simmetrik ayirmasini qaraymiz. Bu holda A∆B = [0, 1)∪[3, 5) bo‘lib u S sistemaga qarashli emas. Demak, S sistema halqa bo‘la olmaydi. ∆
Endi yarim halqalarning ayrim xossalari bilan tanishib chiqamiz.
4.1-lemma. S yarim halqadan A to‘plam va o‘zaro kesishmaydigan A₁,A₂,…,A_n to‘plamlar olingan bo‘lib, ularning har biri A to‘plamda saqlansin. U holda A₁,A₂,…,A_n to‘plamlarni A_n+1,…^A₅ to‘plamlar bilan A to‘plamning chekli yoyilmasiga qadar to‘ldirish
s mumkin, ya’ni A = ∪ A_k.
k=1
Isbot. Lemmani matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. n =1 bo‘lganda tasdiqning to‘g‘ri ekanligi yarim halqa ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Faraz qilaylik, bu tasdiq n=m uchun ham to‘g‘ri bo‘lsin. Endi n = m +1 ta A₁,A₂,…,A_m+1 to‘plamni qaraymiz, ular lemma shartlarini qanoatlantirsin. Farazimizga ko‘ra, n=m da
A=^A₁ ∪^A₂ ∪…∪A_m ∪^B₁ ∪…∪B_P (4.1)
tasvir o‘rinli. Bu yerda B₁,…,B_p to‘plamlar S yarim halqaga qarashli. (4.1) tenglikdan A_m+1 ⊂ B₁ ∪B₂ ∪…B_p ekanligi kelib chiqadi. Agar B_q1 = A_m+1 ∩B_q, q = 1,2,…,p desak, u holda A_m+1 = ^B₁₁ ∪^B₂₁ ∪…B_p1 tenglik o‘rinli. Aniqlanishiga ko‘ra B_q1 ⊂ B_q bo‘ladi. Yarim halqa ta’rifiga ko‘ra B_q \B_q1 to‘plamni o‘zaro kesishmaydigan B_q2,…,B_qrq ∈ S to‘plamlarning chekli yoyilmasiga yoyish mumkin, ya’ni B_q = B_q1 ∪B_q2 ∪⋯∪B_qrq . Ravshanki, (4.1) tenglikka ko‘ra quyidagi
A = ^A1 ∪^A2 ∪⋯∪A_m ∪A_m+1 ∪∪p ^ rq  
 ∪ Bqj q=1 j=2 
chekli yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, n = m +1 bo‘lganda lemma tasdig‘i to‘g‘ri ekanligi isbotlandi. Shunday ekan, ixtiyoriy n da lemma tasdig‘i o‘rinli. ∆
4.2-lemma. S yarim halqadan olingan har qanday cheklita A₁,A₂,…,A_n to‘plamlar sistemasi uchun S da shunday o‘zaro kesishmaydigan cheklita B₁,…,B_t to‘plamlar sistemasi mavjudki, har bir A_k to‘plam B₁,…,B_t to‘plamlardan ba’zilari yordamida
A_k = ∪ B_s , M_k ⊂ {1,2,…,t}.
s∈M_k
yig‘indi ko‘rinishida tasvirlanadi.
Isbot. Bu lemmani ham matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. Agar n = 1 bo‘lsa, lemma isboti ko‘rinib turibdi, chunki bu holda t = 1, B₁ = A₁. Faraz qilaylik, lemma tasdig‘i n=m bo‘lganda o‘rinli bo‘lsin. Endi lemma tasdig‘ining n = m +1 uchun to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. S dan ixtiyoriy ravishda A₁,A₂,…A_m,A_m+1 to‘plamlarni olamiz. Farazimizga ko‘ra, shunday cheklita o‘zaro kesishmaydigan
B₁,…,B_t to‘plamlar mavjudki, A₁,A₂,…,A_m to‘plamlar uchun
A_k = ∪ B_s, k ∈ {1,2,…,m}
s∈M_k
chekli yoyilmalar o‘rinli va M_k ⊂ {1,2,…,t}. Endi
B_s1 = A_m+1 ∩B_s, s ∈{1,2,…,t}
belgilashlarni kiritamiz. 4.1-lemmaga ko‘ra quyidagi chekli yoyilma o‘rinli
q
A_m+1 = B₁₁ ∪B₂₁ ∪…B_t1 ∪ ∪B_p′, B_p ′ ∈ S, p = 1,2.…,q. (4.2)
p=1
Yarim halqa ta’rifiga ko‘ra esa
Bs = Bs1 ∪Bs2 ∪…∪Bsfs, Bsj ∈ S,
chekli yoyilmalar o‘rinli. U holda k = 1,2,…,m, bo‘lganda
fs
A_k = ∪ ∪ B_sj
s∈M_k j=1
chekli yoyilmalar o‘rinli va
B_sj, B_p′, 1 ≤ s ≤ t, 1 ≤ j ≤ f_s, 1 ≤ p ≤ q
to‘plamlar o‘zaro kesishmaydi. Shunday qilib, B_sj,B_p′ to‘plamlar sistemasi A₁,…,A_m,A_m+1 to‘plamlarga nisbatan lemma shartlarini qanoatlantiradi. ∆
Yarim halqadan hosil qilingan halqa. Birinchi bandda ko‘rdikki, ixtiyoriy S sistema uchun uni o‘zida saqlovchi yagona minimal halqa mavjud. Ammo ixtiyoriy S sistema uchun M(S) ni S bo‘yicha hosil qilish ancha murakkabdir. Agar S sistema yarim halqa bo‘lsa, M(S) ni hosil qilish to‘liq sharhlanishi mumkin. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
4.3-teorema. Agar S yarim halqa bo‘lsa, u holda M(S) minimal
n halqa A_k to‘plamlar(A_k ∈ S) bo‘yicha A = ∪ A_k chekli yoyilmaga ega
k=1
bo‘lgan A to‘plamlarning X sistemasi bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Dastlab X sistemaning halqa ekanligini ko‘rsatamiz. Agar
A va B lar X ga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy elementlar bo‘lsa, u holda quyidagi chekli yoyilmalar o‘rinli
n m
A = ∪A_i, B = ∪B_j, A_i ∈ S, B_j ∈ S.
i=1 j=1
S yarim halqa bo‘lgani uchun C_ij = A_i B_j ∈S. 4.1-lemmaga ko‘ra quyidagi chekli yoyilmalar ham o‘rinli
m r_i n ^sj
A_i = ∪C_ij ∪∪ D_ik; B_j = ∪C_ij ∪∪ E_jl, (4.3)
j=1 k=1 i=1 l=1
bu yerda D_ik , E_jl ∈S. Hosil qilingan (4.3) tengliklardan A ∩ B va A∆B to‘plamlarning chekli yoyilmalarga egaligi A∩B = i∪=n1 j∪m=1C , A∆B =  ∪n ∪ri D ∪j∪m=1l∪s=1 j Ejl   ij i=1 k=1 ik
va demak, A ∩ B va A∆B larning X ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, X sistema halqa ekan va u S ni o‘zida saqlaydi. Agar M(S) sistema S ni o‘zida saqlovchi minimal halqa bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
n