1-amaliy mashg‘ulot. Davriy signallarni spektrini amaliy o‘rganish

1.1 rasm. Karrali argumentli trigonometrik funksiyalardan foydalanish usuli.

NE VATi uchinchi darajali polinom bilan approksimatsiyalangan bo‘lsin,

i=a₀+a₁U+a₂U²+a₃U³. (1.5)
Uning kirishiga bitta garmonik tebranish ta’sir etsin,
U_k(t)=U_kcos(ω₀t+ φ₀). (1.6)
(1.7) ni (1.8) ifodaga qo‘yib, hamda
cos²α=0,5(1+cos2α) (1.7)
cos³α=3/4 cosα+1/4 cos3α (1.8)
trigonometrik formulalardan foydalanib, NE dan o‘tayotgan tok spektral tashkil etuvchilar yig‘indisi shaklida ifodalaymiz
i=a₀+a₁U_kcos(ω₀t+φ₀)+a₂U²_kcos²(ω₀t+φ₀)+a₃U³_kcos³(ω₀t+φ₀)=
=a₀+ a₁U_kcos(ω₀t+φ₀)+0,5a₂U²_k+0,5a₂U²_kcos(2ω₀t+2φ₀)+
+0,75a₃U³_kcos(ω₀t+φ₀)+0,25a₃U³_kcos(3ω₀t+3φ₀). (1.9)
Ushbu tok ω₁ chastotali tashkil etuvchidan tashqari, tok doimiy tashkil etuvchisi (ω₀=0), ikkinchi garmonika (2ω₀) va uchinchi garmonika (3ω₀)tashkil etuvchilardan iborat. Bu tashkil etuvchilar quyidagi qiymatlarga ega:
I₀=a₀+0,5a₂U²_k ;
I₁=a₁U_k+0,75a₃U³_k ;
I₂=0,5a₂U²_k ;
I₂=0,25a₃U³_k . (1.10)
Bunda tokning doimiy tashkil etuvchisi va juft garmonikalari approksimatsiyalovchi polinomning juft darajali tashkil etuvchilari va toq garmonikalari toq darajali tashkil etuvchilari hisobiga paydo bo‘ladi, shu bilan birga aniqlanadigan tokning eng yuqori garmonikasi approksimatsiyalovchi polinom darajasiga teng bo‘ladi. Ko‘p hollarda aniqlanadigan garmonika soni oshgan sari uni qiymati avvalgilariga nisbatan kamayib boradi. 1.2-rasmda tok aniqlangan spektral tashkil etuvchilari keltirilgan.

1.2-rasm.

VAXi uchinchi darajali polinom bilan ifodalangan NE kirishiga ikkita tebranish ta’sir etgan holatni ko‘rib chiqamiz. Bunda
U₁=U₁cos(ω₁t+ φ₁) va U₂=U₂cos(ω₂t+ φ₂) (1.11)
va ularning chastotasi ω₂ >ω₁ bo‘lsin.
1.11 yig‘indisini 1.5 yig‘indiga qo‘yamiz va NE dan o‘tayotgan tok ifodasini olamiz
i=a₀+a₁U₁cos(ω₁t+φ₁)+a₁U₂cos(ω₂t+φ₂)+a₂[U₁cos(ω₁t+φ₁)+U₂cos(ω₂t+φ₂)]²++a₃[U₁cos(ω₁t+φ₁)+U₂cos(ω₂t+φ₂)]³. (1.12)
(a+b)² , (a+b)³ ni yoyish va
cosα∙cosβ=0,5cos(α+β)+0,5cos(α-β) ;
cosα∙cos²β=0,5cosα+0,25cos(2α+β)+0,25cos(2α-β) ;
cos²α∙cosβ=0,5cosβ+0,25cos(α+2β)+0,25cos(α-2β) ;
tirgonometrik formulalardan foydalanib (1.12) ni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz
i=a₀+a₁U₁cos(ω₁t+φ₁)+a₁U₂cos(ω₂t+φ₂)+0,5a₂U²₁+0,5a₂U²₂+ +0,5a₂U₁cos(2ω₁t+2φ₁)+0,5a₂U²₂cos(2ω₂t+2φ₂)+a₂U₁U₂cos[(ω₁+ ω₂)t+(φ₁+φ₂)]+ +a₂U₁U₂cos[(ω₁-ω₂)t+(φ₁-φ₂)]+ 0,75a₃U³₁cos(ω₁t+φ₁)+0,75a₃U³₂cos(ω₂t+φ₂)+ +0,25a₃U³₁cos(3ω₁t+3φ₁)+0,25a₃U³₂cos(3ω₂t+3φ₂)+1,5a₃U²₁U₂cos(ω₂t+φ₂)+ +0,75a₃U²₁U₂cos[(ω₁-2ω₂)t +(φ₁-2φ₂)]+ 0,75a₃U²₁U₂cos[(ω₁+2ω₂)t+(φ₁+2φ₂)]+ +1,5a₃U₁U²₂cos(ω₁t+φ₁)+0,75a₃U₁U²₂cos[(2ω₁+ω₂)t+(2φ₁+φ₂)]+ +0,75a₃U₁U²₂cos[(2ω₁-ω₂)t +(2φ₁-φ₂)] . (1.13)
1.13 ifodadagi NE orqali o‘tgan tok spektral tashkil etuvchilari spektrini chizamiz (1.3-rasm).

1.3-rasm.

Nochiziqli element orqali umumiy holda: birinchi signal va uning garmonikalari (nω₁+nφ₁); ikkinchi signal va uning garmonikalari (mω₂+mφ₂) va kombinatsion chastotalar [(nω₁+nφ₁)∙(mω₂+mφ₂)] paydo bo‘ladi. Kombinatsion chastotalar murakkabligi ularning tartibi N=|n|+|m| orqali aniqlanadi (n va m butun natural sonlar). Masalan ω₁+2ω₂ – uchinchi tartibli, 2ω₁+2ω₂ – to‘rtinchi tartibli kombinatsion tashkil etuvchilar hisoblanadilar.
1.13 ifodadagi tok har bir spektral tashkil etuvchilari qiymati (amplitudasi) mos chastotali spektral tashkil etuvchilar yig‘indisi bilan aniqlanadi.