1-amaliy mashg’ulot ishi

1-amaliy mashg’ulot ishi

Bu amaliy mashg’ulot ishi differensial geometriya va topologiya kursning metrik fazo qismiga doir misol va masalalardan iborat.

1. Metrik fazolar

Metrik fazolar topologik fazolarning juda muhim sinfini tashkil etadi. Bu fazolarda ixtiyoriy ikki nuqta uchun ular orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Metrik fazolarning muhim turlari bilan siz birinchi kursda tanishgansiz. Haqiqiy sonlar to’plamini bilan belgilaymiz.

Ta’rif 1. ixtiyoriy to’plam, to’g’ri ko’paytma da funksiya aniqlangan bo’lib, quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

M1) va (musbatlik sharti)

M2) (simmetriklik sharti)

M3) (uchburchak tengsizligi sharti)

Yuqoridagi shartlar metrik fazo aksiomalari deyiladi. Bu shartlar bajarilsa, juftlikga metrik fazo va ga esa dagi metrika deyiladi.

Misol 1. Evklid fazosidagi tabiiy metrka. uchun to’plamda va nuqtalar orasidagi masofani

formula bilan aniqlaymiz.

Yuqoridagi funksiyaning M1, M2-shartlarni qanoatlantirishi ravshan. Bu shartlarning uchinchisi sizga matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan

Koshi tengsizligidan kelib chiqadi.

Haqiqatan ham, agar nuqtalar uchun belgilashlar kiritsak, Koshi tengsizligidan tengsizlik kelib chiqadi. Kiritilgan funksiya bilan birgalikda metrik fazo bo’ladi.