1-amaliy mashg’ulot ishi

Tasdiq 1. Ochiq to’plamning hamma nuqtalari ichki nuqtalardan iborat.

Tasdiq 2. va ixtiyoriy son uchun ochiq to’plam bo’ladi.

Agar oila sifatida metrik fazoning hamma ochiq qism to’plamlari va bo’sh to’plamdan iborat oilani olsak, oila quyidagi xossalarga ega bo’ladi.

Teorema 1.

O1) Bo’sh to’plam va to'plam ga tegishlidir;

O2) - ga tegishli to’plamlar oilasi bo’lsa, u holda o’rinli bo’ladi.

O3) bo’lsa, unda .

Ta’rif 7. juftlikga metric fazodagi tabiiy topologiya yoki fazoda metrika yordamida kiritilgan topologiya deb ataladi.

Endi ochiq to’plam tushunchasidan foydalanib, yopiq to’plam tushunchasini kiritamiz.

Ta’rif 8.metrik fazo berilgan bo’lsin. Berilgan to’plamning to’ldiruvchisi ochiq to’plam bo’lsa, yopiq to’plam deb ataladi.

Birinchi teoremadan foydalanib, yopiq to’plamlar uchun quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

Teorema 2. Yopiq qism to’plamlar uchun quyidagilar o’rinlidir:

C1) va bo’sh to’plam yopiq to’plamlardir.

C2) Har qanday yopiq, qism to’plamlar oilasi uchun shu oiladagi to’plamlar kesishmasi yopiq to’plamdir.

C3) Chekli sondagi yopiq to’plamlarning yig’indisi yopiq to’plamdir.

Misol 13. Ochiq to’plamlarni O3) xossasiga ko’ra chekli sondagi ochiq to’plamlar kesishmasi yana ochiq to’plam bo’ladi. Cheksiz bo’lsa ham bu tasdiq saqlanadimi? Biz bu savolga javob berishga harakat qilib ko’ramiz.

va undagi tabiiy metrika bo’lsin.

, ochiq to’plamlarni olamiz. Bu to’plamlar uchun munosabat o’rinli bo’lgani bois

(*.1)

Nol soni har bir qarashli bo’lgani sababli va (*.1) dan

.

Demak, ochiq kesmalar kesishmasi yopiq to’plam ekan.