1-amaliy mashg‘ulot. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini almashtirish. Qutb koordinatalar sistemasi Maqsad

Masala: 
 va 
 koordinatalar orasidagi bog’lanishni topish. 
Echish. 2-chizmadan ko’rinib turibdiki 
. (2) 
Aksincha, (2) dan
. (3) 

---

Koordinatalar sistemasini burish. Endi “yangi koordinatalar sistemasi” 
deb, koordinata boshini o’zgartirmasdan, “eski koordinatalar sistemasi” 
ni burchakka burishga aytiladi (3-chizma), bu erda burchak musbat 
deyiladi, agar u soat strelkasiga teskari yo’nalishda bu’lsa, aks holda- manfiy. 
nuqtaning radius-vektori 
ning 
u’qi bilan hosil qilgan musbat 
burchakni belgilaymiz; unda 
kesma 
o’q bilan 
musbat burchakni 
hosil qiladi. Bundan (1) formulaga asosan 
nuqtaning koordinatalari quyidagich 
bo’ladi 
, (4) 
, (5) 
Bu erda 
. 
nuqtaning yngi koordinatalari quyidagiga teng bo’lganligi 
uchun
,
, 
2-chizma
3-chizma 

---

 (4) va (5) formulalarni quyidagicha yozish mumkin
(6) 
(6) formula 
nuqtaning eski koordinatalari va ni uning yangi 
va 
koordinatalari orqali ifodalaydi. Yangi 
va 
koordinatalarini uning eski 
koordinatalari va orqali ifodalash uchun (6) sistemani 
va 
larga nisbatan 
echish etarli. Biroq buning soddaroq usuli bor: buning uchun 
sistemani 
“eski” deb, 
sistemani esa yngi deb qabul qilamiz. U holda, ikkinchi sistema
birinchisiga nisbatan 
burchakka burulganligini hisobga, (6) formulada mos 
ravishda va 
larni va almashtiramiz, hamda 
tengliklarga asosan quyidagini hosil qilamiz 
(7) 
Boshqa koordinatalar sistemasiga o’tishning umumiy holi. Umumiy 
holda, yangi koordinatalar boshi 
nuqtada va 
o’q 
o’qi bilan
tashkil etganda, (3) va (6) formulalarini birlashtirib quyidagini hosil qilaniz 
(8)
Xuddi shuningdek, (2) va (7) formulalaridan 
(9) 
hosil bo’ladi. 
(8) va (9) formulalaridan quyidagich xulosa qilamiz: bir to’g’ri burchakli 
koordinatalar sistemasidan ikkinchi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga 
o’tish formulalari mos ravishda yngi va eski kordinatalarning chiziqli funksiyalari 
bo’lar ekan, y’ni formulalardagi koordinatal birinch darajada qatnashadi. 
3-misol. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi parallel ko’chirilgan, 
uning kordinatalar boshi 
nuqtada. 
nuqtaning eski koordinatalari 
berilgan 
. Yangi sistemadagi koordinatalarini toping. 
Yechish. Misol shartiga ko’ra:
(2) 
formuladan foydalanamiz. 
. Shunday qilib berilgan 
nuqtaning yngi sistemadagi koordinatasi 
(4-chizma).

---

4-misol. 
tekislikda 
nuqta berilgan. Koordinatalar sistemasi 
koordinata boshiga nisbatan shunday burulganki yangi 
o’qi 
nuqtadan 
o’tadi. Agar nuqtaning yangi 
koordinatalari berilgan bo’lsa, 
uning eski koordinatalarini toping. 
Echish. Avvalam bore eski 
-abssisa o’qining burulbsh burchagini 
aniqlaymiz. 
. Endi (6) formulaga 
asosan 
Misol shartiga ko’ra 
bo’lgani uchun 
(5-chizma).