1. Aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning geometrik va iqtisodiy ma’nolari. Aniq integralning xossalari

Misol 9. ni hisoblang.
Yechish: Bu misolni, ketma-ket ikki marta bo’laklab integrallash usulini qo’llab yechamiz.


Misol 10. ni hisoblang.
Yechish:


. Aniq integralning xossalari.
Avvalo yuqorida ko‘rib o‘tilgan aniq integral ta’rifiga ikkita qo‘shimcha kiritamiz.

1. 
   Aqar aniq integralda quyi a va yuqori b chegaralar (a<b) o‘rni almashsa, unda
   

(12)
tenglik o‘rinli deb qabul etamiz. Bunday qarorni quyidagicha tushuntirish mumkin. (12) tenglikning chap tomonidagi integralda x integrallash o‘zgaruvchisi OX o‘qda x=a nuqtadan x=b nuqtaga qarab o‘sadi va shu sababli х_i=х_i–х_i–1>0 bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralda esa aksincha bo‘lib, x integrallash o‘zgaruvchisi x=b nuqtadan x=a nuqtaga qarab kamayib boradi va unda δx_i=х_i–1–х_i= –х_i<0 bo‘ladi. Demak, (12) tenglikdagi integrallar uchun ularning integral yig‘indilari faqat ishoralari bilan farq qiladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan, (12) tenglikni qabul etish mumkinligini ko‘ramiz.

2. 
   (12) tenglikdan
   

(13)
deb qabul qilishimiz mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham bu holda
.
Izoh: Aniq integral ta’rifini ifodalovchi (11) tenglikdan ko‘rinadiki, uning qiymati biror sondan iborat bo‘ladi. Bu son faqat integral ostidagi f(x) funksiya va [a,b] integrallash kesmasiga bog‘liq bo‘lib, integrallash o‘zgaruvchisiga bog‘liq emas. Shu sababli aniq integralda integrallash o‘zgaruvchisini har xil belgilash mumkin, ya’ni
.
I xossa: Aniq integralda o‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni k o‘zgarmas son bo‘lsa,unda
(14)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.