1. Aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning geometrik va iqtisodiy ma’nolari. Aniq integralning xossalari


Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan . II xossa


Download 209.75 Kb.
bet3/5
Sana16.06.2023
Hajmi209.75 Kb.
#1518938
1   2   3   4   5
Bog'liq
Iqtisodiyotda aniq integral tushunchasidan foydalanish

    Bu sahifa navigatsiya:
  • Isbot
Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan
.
II xossa: Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
(15)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud deb hisoblanadi.
Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan


.
III xossa:Agar [а, b] kesmada f(x)0 va integrallanuvchibo‘lsa, unda uning aniq integrali uchun
(16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida fi)≥0, Δxi>0 (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgani uchun va aniq integral ta’rifi hamda limit xossasiga asosan
,
ya’ni (16) tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
IV xossa: Agar [а, b] kesmada f(x) va g(x) funksiyalar integrallanuvchi hamda f(x)≤ g(x) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun
(17)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: II xossaga asosan h(x)=g(x)–f(x) funksiya berilgan [а,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)≤g(x) shartdan h(x)0 ekanligi kelib chiqadi. Unda, IV va II xossalardan foydalanib, (17) tengsizlikka quyidagicha erishamiz:

.
V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va
(18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning
geometrik mazmuniga asoslangan (4-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

4-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S1 yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S2 yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S1+S2 tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.
Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<avac>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:

.

Download 209.75 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling