1. Aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning geometrik va iqtisodiy ma’nolari. Aniq integralning xossalari

IX xossa(O‘rta qiymat haqidagi teorema): Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda
(22)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Berilgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun, Veyershtrass teoremasiga asosan, u bu kesmada o‘zining eng kichik m va eng katta M qiymatlarini qabul etadi. Shu sababli bu funksiya uchun VII xossani ifodalovchi (20) qo‘sh tengsizlik o‘rinli va uni quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu qo‘sh tengsizlik orasida turgan sonni μ deb belgilasak, unda kesmada uzluksiz funksiya xossasiga asosan (VI bob, §5, 5-teorema natijasi), [a,b] kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda f(ξ)=μ bo‘ladi. Bu yerdan, belgilashimizga asosan,

ekanligi kelib chiqadi.
Ta’rif: (22) tenglik orqali aniqlanadigan

sonif(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi o‘rta qiymati deb ataladi.
.Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
Berilgan uzluksiz y=f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan

aniq integralni ba’zi hollarda biror x=(t) differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaruvchiga o‘tish usulida hisoblash mumkin bo‘ladi. Bunda (t) funksiya almashtirma deb ataladi va unga quyidagi shartlar qo‘yiladi:

1. 
   =а ,=b ;
   
2. 
   t vа ′t funksiyalar t[] kesmada uzluksiz ;
   
3. 
   f [t] murakkab funksiya [] kesmada aniqlangan va uzluksiz.
   

Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
(7)
Isbot:F(x) berilgan integral ostidagi f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Unda, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan,

tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, integralni invariantlik xossasi (§2, (2) tenglikka qarang) va yuqoridagi 1 – 3 shartlardan foydalanib, ushbu natijaga kelamiz:
.
Oldingi va bu tenglikning o‘ng tomonlarini taqqoslab, (7) formula o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Ta’rif: (7) tеnglik aniq integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasidеb ataladi.
Ushbu aniq integrallarni o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi yordamida hisoblaymiz.
6-misol
= ;
7-misol
=