1. Aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning geometrik va iqtisodiy ma’nolari. Aniq integralning xossalari

Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan
.
II xossa: Ikki yoki undan ortiq funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
(15)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi aniq integrallar mavjud deb hisoblanadi.
Isbot: Aniq integral ta’rifi va limit xossasiga asosan


.
III xossa:Agar [а, b] kesmada f(x)0 va integrallanuvchibo‘lsa, unda uning aniq integrali uchun
(16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)≥0, Δx_i>0 (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgani uchun va aniq integral ta’rifi hamda limit xossasiga asosan
,
ya’ni (16) tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
IV xossa: Agar [а, b] kesmada f(x) va g(x) funksiyalar integrallanuvchi hamda f(x)≤ g(x) bo‘lsa, unda ularning aniq integrallari uchun
(17)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: II xossaga asosan h(x)=g(x)–f(x) funksiya berilgan [а,b] kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)≤g(x) shartdan h(x)0 ekanligi kelib chiqadi. Unda, IV va II xossalardan foydalanib, (17) tengsizlikka quyidagicha erishamiz:

.
V xossa: Agar a<c<b va f(x) funksiya [a,c] , [c,b] kesmalarda
integrallanuvchi bo‘lsa, unda u [a,b] kesmada ham integrallanuvchi va
(18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu xossani qat’iy matematik isbotini keltirmasdan, uni integralning
geometrik mazmuniga asoslangan (4-rasmga qarang) talqinini keltirish bilan chegaralanamiz.

4-rasm

(18) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aACc egri chiziqli trapetsiyaning S₁ yuzasini, ikkinchi integral cCBb egri chiziqli trapetsiyaning S₂ yuzasini ifodalaydi. (18) tenglikning chap tomondagi integral esa y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini ifodalaydi. Bu yerda S=S₁+S₂ tenglik o‘rinli va uni integrallar orqali ifodalab, (18) tenglikni hosil etamiz.
Izoh: III xossani ifodalovchi (18) tenglik c<avac>b holda ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, c>b holda a<b<c bo‘lgani uchun (18) tenglik yuqoridagi mulohazalar va (12) tenglikka asosan quyidagicha keltirib chiqariladi:

.