§1 Ayqın emes funkciya túsinigi hám onıń tuwındısı

1-teorema. F(x; y) funkciya noqattıń qanday da bir
átirapında berilgen bolsın hám tómendegi shártlerdi orınlasın:
1) da úzliksiz;
2) x ózgeriwshiniń aralıqatan alınǵan hár bir anıq mánisinde y ózgeriwshiniń funkciyası sıpatında ósiwshi;
3) F(x_o; y_o) = 0.
Onda (x_o; y_o) noqattıń sonday

átirapı tabıladı,
1) ushın F(x; y)=0 teńleme jalǵız bir y sheshimge iye, yaǵnıy F(x; y)=0 teńleme járdeminde

ayqın emes kórinistegi funkciya anıqlanadı.
2) x = x_o bolǵanda oǵan sáykes kelgen y = y_o boladı,
3) ayqın emes kóriniste anıqlanǵan

funkciya aralıqta úzliksiz boladı.
2-teorema. F(x; y) funkciya noqattıń qanday da bir átirapı da anıqlanǵan bolıp tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1^o. F(x; y) U da n márte úzliksiz differenciyalanıwshı (n = 1, 2, ...)
2^o. F(x_o; y_o) = 0.
3^o.
Onda sonday átirap hám bul átirapta f(x) funkciya bar bolıp,

qálegen larda

2) f(x) funkciya I_x ta n-márte úzliksiz differenciyalanıwshı hám 1-tártipli tuwındı ushın

teńlik orınlı boladı.
4-mısal. Tómendegi

teńleme (2; 0) noqattıń átirapında y ti x tıń ayqın emes funkciyası sıpatında anıqlaydı ma?
Berilgen

funkciyanı 2-teoremanıń shártin orınlawın yamasa orınlamawın tekseremiz
Belgili bolǵanınday, F(x; y) funkciya R² kóplikte anıqlanǵan hám úzliksiz. Sonlıqtan, y (2; 0) noqattıń qálegen átirapı da úzliksiz. .
F(x; y) funkciyanıń dara tuwındıların tabamız:

Demek, F(x; y) funkciyanıń dara tuwındıları lar R² kóplikte, sonnan da úzliksiz. Soń

Hám eń sońında

boladı.
Solay etip,

funkciya 2-teoremanıń barlıq shártlerin orınlaǵanın anıqladıq. Sol sebepli 2-teoremaǵa kóre

teńleme (2; 0) noqattıń átirapında y ti x tıń ayqın emes funkciyası sıpatında anıqlaydı:

Bul funkciya úzliksiz hám onıń tuwındısı

boladı.
5-mısal.Tómendegi

teńleme (0; 1) noqattıń átirapında y hám x tiń ayqın emes funkciyası sıpatında anıqlaydı ma?
F(x; y) funkciya kóplikte anıqlanǵan hám úzliksiz. Tiykarınan, (0; 1) noqattıń átirapında úzliksiz. Onıń dara tuwındıları

da úzliksiz hám

boladı.
Funkciyanıń (0; 1) noqattaǵı mánisi

boladı.
Demek, F(x; y) funkciya 2-teoremanıń barlıq shártlerin orınlaydı. Sol teoremaǵa kóre,

teńleme (0; 1) noqattıń átirapında

ayqın emes funkciyanı anıqlaydı.
Bul funkciya úzliksiz hám onıń tuwındısı

boladı.
6-mısal. Eger F(x; y) funkciya úzliksiz ekinshi tártipli

dara jaǵdaylarına iye bolsa,
F(x; y) =0
teńleme járdeminde anıqlanǵan

ayqın emes funkciyanıń birinshi hám ekinshi tártipli tuwındıların tabıń.
F(x; y) =0 di differenciallap

bolıwın tawamız. Bul teńlikten bolsa

bolıwı kelip shıǵadı.
Joqarıdaǵı (1) qatnastı jáne bir márte differenciallaymız:

Kórinip turǵanınday,

Solay etip, tómendegi teńlikke kelemiz:

Keyingi teńlikten bolsa

bolıwı kelip shıǵadı. Bul teńlikte tiń ornına onıń mánisin qoysaq, onda

boladı.
2^o. Eki

funkciyalar noqattıń qanday da bir

átirapında berilgen bolsın.
Tómendegi

teńlemeler sistemasın qarayıq.