§1 Ayqın emes funkciya túsinigi hám onıń tuwındısı

3-teorema. hám funkciyalar tómendegi shártlerdi orınlasın:
1) da úzliksiz;
2) da barlıq dara tuwındılarǵa iye hám úzliksiz;
3) dara tuwındılardıń noqattaǵı mánislerinen dúzilgen tómendegi determinantı nolden parıqlı:

4) noqatta

Onda noqattıń sonday átirapı tabıladı, bul átirapta
1) (2) teńlemeler sisteması ayqın emes kórinistegi

funkciyalardı anıqlaydı:
2) (x₀; y₀) noqatta oǵan sáykes keletuǵın noqat

boladı;
3) ayqın emes kóriniste anıqlanǵan f₁ hám f₂ funkciyalar

kóplikte úzliksiz hám barlıq úzliksiz dara jaǵdaylarǵa iye boladı.
7-mısal. Tómendegi

sistema (1; -1; 1; 2) noqattıń átirapında ayqın emes funkciyalardı anıqlaydı ma?
Bul jaǵdayda

boladı.
Belgili bolǵanınday, bul funkciyalar (1; -1; 1; 2) noqattıń átirapında úzliksiz hám barlıq

dara tuwındılar da úzliksiz esaplanadı.
(1; -1; 1; 2) noqatta

hám

boladı. Demek, 3-teoremaǵa kóre

sistema u hám v lardı x, y ózgeriwshilerdiń funkciyası sıpatında anıqlaydı. Berilgen teńlemeler sistemasın u hám v larǵa qarata sheship tabamız:

1-§. Ayqın emes funkciyalar teoriyasınıń bazı bir qollanılıwları


Salıstırmalı ekstremumlar. n + m erkli ózgeriwshiniń funkciyası berilgen bolıp, bul erkli ózgeriwshiler jáne m dana


baylanıs teńlemelerin de qanaatlandırsın. Bul funkciyanıń ekstremumın tabıw formulasın tabıw máselelesin kórip óteyik. Biz tómende usı salıstırmalı ekstremum túsinigin anıqlap alamız hám onı tabıw usılların kórsetemiz.
Baylanıs teńlemelerin qanaatlandıratuǵın noqattıń qanday da bir átirapındaǵı baylanıs teńlemelerin qanaatlandırıwshı barlıq noqatlar ushın


teńsizlik orınlanǵan bolsa, funkciya P_o noqatta salıstırmalı maksimumǵa (minimumǵa) iye delinedi.
Mısalı, baylanıs teńlemesi
F (x; y; z) = 0
ge ǵárezli úsh x; y; z ózgeriwshiniń funkciyası u = f (x; y; z) haqqında aytılatuǵın bolsa, u funkciyanıń salıstırmalı ekstremumın tabıw, geometriyalıq kóz-qarastan, joqarıdaǵı teńleme menen ańlatılǵan sırtlay ekstremumın tabıw degeni, yaǵnıy ekstremum noqat ta, onıń menen salıstırılıp atırǵan noqatlar da usı sırtta jatıwı kerek. Eger eki baylanıs teńlemesi F (x; y; z) = 0, G (x; y; z) = 0 berilgen bolsa, onda sonnan belgili, sol teńlemeler menen berilgen iymek sızıq noqatların ǵana qarastırıwǵa tuwra keledi.
Máseleniń tolıq beriliwine keledi ekenbiz, jazıwdı qısqartıw maqsetinde eki baylanıs teńlemesi
F (x; y; z) = 0, G (x; y; z) = 0 (1)
qanaatlandırıwshı tórt ózgeriwshiniń funkciyası u = f (x; y; z; t) dı alamız.
P_o = (x_o; y_o; z_o; t_o) noqatta f fnkciya salıstırmalı ekstremumǵa iye bolsın. Berilgen noqat átirapında f hám F, G funkciyalar barlıq ózgeriwshiler boyınsha úzliksiz dara tuwındılarǵa iye dep oylaymız. Sonıń menen birge, dara tuwındılardan dúzulgen

matricanıń keminde bir ekinshi tártipli determinantı, mısalı,

determinant P_o noqatta nolden parıqlı bolsın.
Onda P_o noqattıń tiyisli átirapında

sistemaǵa teń kúshli esaplanadı, bul jerde - (1) sistema menen anıqlanatuǵın ayqın emes funkciyalar esaplanadı.
Basqasha etip aytqanda, x, y, z, t ózgeriwshiler (1) baylanıs teńlemelerine ǵárezlilik talabın z hám t ózgeriwshiler x hám y lerdiń (3) funkciyaları bolıwı shárti menen almastırıw múmkin. Solay etip, f (x; y; z; t) tórt ózgeriwshiniń funkciyasınıń P_o = (x_o; y_o; z_o; t_o) noqattaǵı salıstırmalı ekstremumı máselesi, eki ózgeriwshiniń quramalı funkciyası

nıń M_o = (x_o; y_o) noqattaǵı ápiwayı (absolyut) ekstremumı máselesine keltiriledi.