1. Bevosita integrallash usuli. Differensial belgisi ostiga kiritish usuli. Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash

INTEGRALLASH USULLARI.


Reja:


1.Bevosita integrallash usuli.
2. Differensial belgisi ostiga kiritish usuli.
3. Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.

Bevosita integrallash usuli xossalar va asosiy integrallar jadvalidan foydalanishdan iborat.

2.Differensial belgisi ostiga kiritish usuli.
Differensial belgisi ostiga kiritish usuli, integral ostidagi ifodani almashtirish-dan iboratdir. Bunda


va hakazo, almashtirishlarni bajarish mumkin.
3.O‘rniga qo‘yish usuli.
Jadvalga kirmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. ni erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalab, integrallashning yangi o‘zgaruvchisini kiritamiz. Bu funksiyaga teskari funktsiya mavjud bo’lsin. U holda bo’lib,

formula hosil bo^’ladi.
Bu o’rniga qo’yish usuli deyiladi.
4.Bo‘laklab integrallash.
Bo‘laklab integrallash formulasi ikki funksiya ko‘paytmasini differensiallash formulasidan kelib chiqadi. differentsiallanuvchi funktsiyalar.Ikki funktsiya ko’paytmasining differentsiali:

ga teng.
Bundan

ni hisil qilamiz.
(1) formula bo’laklab intgrallash formulasi deyiladi.
Bu formula odatda integral ostidagi funksiya turli sinfdagi darajali va ko‘rsatkichli, darajali va trigonometrik, trigonometrik va ko‘rsatkichli va hokazo., funksiyalarning ko‘paytmasi shaklida ifodalangandagina qo‘llaniladi. Bunda integrallashning ikki turini ajratib, ular uchun qaysi funktsiyani deb va qaysi ifodani deb qabul qilish kerakligini ko‘rsatish mumkin.
Birinchi turga ko‘phadning ko‘rsatkichli yoki trigonometrik funksiyaga ko‘paytmasini o‘z ichiga olgan integrallar kiradi. Bu yerda orqali ko‘phad belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa orqali belgilanadi.
Ikkinchi turga ko‘phadning logarifmik yoki teskari trigonometrik funksiyaga ko‘paytmasi qatnashgan integrallar kiradi. Bu holda bilan ifoda belgilanadi, qolgan hamma funktsiya esa bilan belgilanadi.
Bu formula takroran bir necha marta qo’llanishi mumkin.
5. Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.
Ikkita ko’phadning nisbati

kasr-ratsional funktsiya yoki ratsional kasr deyiladi. Bunda hamda ko’phadlarning daraja ko’rsatkichlari bo’lib, ular natural sonlardir. Agar bo’lsa, kasr-ratsional funktsiya to’g’ri kasr, da esa noto’g’ri kasr deyiladi
ratsional kasr noto’g’ri bo’lgan hollarda kasrning suratini maxrajiga odatdagidek bo’lish bilan uning butun qismi ajratiladi.
Quyidagi kasrlar eng sodda kasr-ratsional funktsiyalar deyiladi.



Kasr ratsional funktsiyalarni integrallash.
Bu yerda


bo’lgan holda.

tenglikdan va lar topiladi va holatga keladi.
bo’lgan holda.


tenglik holatga keldi.
U holda Bundan


6. Trigonometrik funktsiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash.
Barcha trigonometrik funktsiyalarni orqali ratsional ravishda ifodalash mumkin. Bu ifodani orqali belgilaymiz.
integralni qaraymiz. Bu integralda universal (umumiy) almashtirish bajarilsa, u holda integral ostidagi ifoda o’zgaruvchining ratsional funktsiyasiga aylanadi:



1. Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
2. Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
3. Agar funktsiya va ga nisbatan juft bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda almashtirish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
Bu yerda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan formulalardan foydalaniladi:

4. ko’rinishdagi integrallarda
Agar va toq bo’lsa, u holda
Agar va toq bo’lsa, u holda
almashtirishlar bu funktsiyalarni ratsionallashtiradi.
Agar va ko’rsatkichlar juft va nomanfiy bo’lsa, u holda trigonometriyadan ma’lum bo’lgan

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanib, yoki yana olni hosil qilamiz.
(juft va nomusbat) bo’lsa, u holda yoki almashtirish bajarsak, berilgan integral darajali funktsiyalarning integrallari yig’indisiga keladi.
Agar darajalardan biri ( yoki nolga teng, ikkinchisi manfiy toq son bo’lsa, u holda

universal almashtirish (o’rniga qo’yish)ni bajarsak, u darajali funktsiyalarni integraliga keladi.
5.
ko’rinishdagi ifodalarni integrallashda trigonometrik funktsiyalar ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalaridan foydalaniladi: