1-bo‘lim. Matematik analiz uzluksiz funksiyalarning global xossalari. Bolsano-Koshi, Veyershtrass teoremalari

4-bo‘lim. FUNKSIONAL ANALIZ

1. 
   Metrik va topologik fazolar. Ketma-ketliklarni metrik fazoda yaqinlashishi.
   
2. 
   Metrik fazoda ochiq va yopiq to‘plamlar va ularning bog‘lanishi.
   
3. 
   , , metrik fazolarning to‘laligi.
   
4. 
   Qisqartirib akslantrirish prinsipi.
   
5. 
   Metrik fazolarda to‘plamlarning kompaktligi. fazosida to‘plamlarning kompaktlik kriteriyasi.
   
6. 
   Kompaktlarni uzluksiz akslantrish. Veyershtrass va Kantor teoremalari.
   
7. 
   Normallangan va Banax fazolari. Birlik sharning kompaktlik kritieriyasi.
   
8. 
   Chekli o‘lchamli normallangan fazolarda normalarning ekvivalentligi.
   
9. 
   Gilbert fazolari va ularda Fur’e qatorlari.
   
10. 
    Separabel Gilbert fazolarining izomorfligi.
    
11. 
    Gilbert fazosini yopiq qismfazolarning ortogonal to‘g‘ri yig‘indiga yoyish.
    
12. 
    Uzluksiz chiziqli funksionallar, chegaralanganlik va uzluksizlik orasidagi bog‘liqlik. Funksional normasi.
    
13. 
    Gilbert fazosida chiziqli uzluksiz funksionallarning umumiy ko‘rinishi.
    
14. 
    Qo‘shma fazo va uning to‘laligi.
    
15. 
    Xan-Banax teoremasi.
    
16. 
    Chiziqli chegaralangan operatorlar va ularning normalari.
    
17. 
    Chiziqli chegaralangan operatorlar fazosining to‘laligi.
    
18. 
    Tekis chegaralanganlik prinsipi.
    
19. 
    Spektr va rezolventa. Chiziqli chegaralangan operatorlarning spektri haqidagi teorema.
    
20. 
    Kompakt operatorlar va ularning xossalari.
    
21. 
    Kompakt operatorlarning spektri.
    
22. 
    Kompakt operatorlar uchun Fredgolm teoremalari.
    

01.01.02-DIFFERENCIAL TENGLAMAR VA MATEMATIK FIZIKA

Differensial tenglamalar bo’yicha

1. 
   Differensial tenglama haqida tushuncha, differensial tenglamaga keladigan ba’zi bir masalalar. Yechim tushunchasi. Koshi masalasining qo‘yilishi.
   
2. 
   Birinchi tartibli hosilaga nisbatan tenglama uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi.
   
3. 
   Rikkati tenglamasining bitta yechimi ma’lum bo`lgan holda, uning umumiy yechimini topish.
   
4. 
   To`liq differensialli tenglamani yechish usuli. Integrallovchi ko`paytuvchi.
   
5. 
   Hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar. Laranj va Klero tenglamalarini yechish usullari.
   
6. 
   Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Boshlang‘ich shartlar. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema
   
7. 
   n-tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlarining umumiy xossalari.
   
8. 
   Fundamental sistema tenglamani yagona ravishda aniqlashi haqidagi teorema va uning isboti.
   
9. 
   Ostrogradskiy–Liuvill formulasi va uning tadbiqi.
   
10. 
    n –tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan tenglama uchun superpozitsiya printsipi. Bir jinsli bo`lmagan tenglamaning xususiy yechimini topishning Lagranj va Koshi funktsiyasi usuli.
    
11. 
    O`zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning xarakteristik ko`phadi karrali ildizlarga ega bo`lmagan va bo`lgan holda umumiy yechimini tuzish.
    
12. 
    Eyler tenglamasi.
    
13. 
    Bessel tenglamasi.
    
14. 
    Differensial tenglamalar sistemasini normal ko‘rinishga keltirish. Differensial tenglamalar normal sistemasi uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi.
    
15. 
    Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari.
    
16. 
    Ostragradskiy-Liuvill formulasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi umumiy yechimi haqidagi teorema.
    
17. 
    Chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamalar sistemasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema.
    
18. 
    O‘ng tomoni maxsus ko‘rinishda bo‘lgan chiziqli o‘zgarmas koeffitsiyentli tenglamalar sistemasi.
    
19. 
    Matritsa ko‘rinishidagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral formulasi. Eksponensial matritsa. Matritsali differensial tenglamalarni integrallash.
    
20. 
    Differensial tenglama yechimining davomiyligi. Yechimning davomiyligi. Yechimning boshlang‘ich qiymatlar va parametrlarga uzluksiz bog‘liqligi haqidagi teorema. Yechimning boshlang‘ich qiymatlar va parametrla rbo‘yicha differensiallanuvchanligi haqidagi teorema.
    
21. 
    Avtonom sistemalar. Yechimning xossalari. Chiziqli avtonom sistemaning maxsus nuqtalari. Asimptotik turg‘un davriy harakat tushunchasi. Yechimning boshlang‘ich shart va parameter bo‘yicha differensiallanuvchanligi. Differensial tenglamalar sistemasining birinchi integrali. Birinchi integrallar sistemasining mavjudligi.
    
22. 
    Turg‘unlik nazariyasi asoslar. Lyapunov ma’nosida turg‘unlik. Asimptotik turg‘unlik haqidagi teoremalar. Birinchi yaqinlashish bo‘yicha turg‘unlik haqidagi Lyapunov teoremasi.
    
23. 
    Chiziqli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamani soda ko‘rinishga keltirish. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida.
    
24. 
    Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema. Koshi-Kovalevskaya teoremasi.
    
25. 
    Xususiy hosilali birinchi tartibli tenglamalar. Xususiy hosilali birinchi tartibli chiziqli tenglama va uning umumiy yechimi. Xususiy hosilalik va zichiziqli birinchi tartibli differensial tenglamlar. Xarakteristik va integral sirtlar.
    

Matematik fizika tenglamalari bo’yicha

1. 
   Ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar uchun asosiy chegaraviy masalalarning qo’yilishi. Korrekt va nokorrekt qo’yilgan masala tushunchasi. Adamar misoli.
   
2. 
   Ikkinchi tartibli ikki o`zgaruvchili tenglamalarni turlarga ajratish va kanonik ko`rinishga keltirish.
   
3. 
   Giperbolik tipdagi tenglamaga olib kelinadigan oddiy masalalar. Dalamber formulasi. Bir jinsli bo’lmagan tenglama uchun Dalamber formulasi. Yechimning turgʻunligi.
   
4. 
   Yarim chegaralangan va chegaralangan tor tenglamasini davom ettirish usulida integrallash.
   
5. 
   Gursa masalasi. Aysgeyrson prinsipi. Qo`shma differensial operatorlar. Riman usuli.
   
6. 
   Kirxgof formulasi. Tushish usuli.
   
7. 
   Oʻzgaruvchilarni ajratish usuli. Torning erkin tebranish tenglamasi, yechimning fizik ma’nosi.
   
8. 
   Bir jinsli bo‘lmagan tenglama uchun o‘zgaruvchilarni ajratish usuli. Umumiy birinchi chegaraviy masala.
   
9. 
   O‘zgaruvchilarni ajratish usulining umumiy sxemasi.
   
10. 
    Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi. Birinchi chegaraviy masala. Ekstremum prinsipi.
    
11. 
    Birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi va turgʻunligi. Fure usuli.
    
12. 
    Issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshi masalasi. Puasson formulasini keltirib chiqarish.
    
13. 
    Puasson formulasini asoslash. Bir jinsli boʻlmagan issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi.
    
14. 
    Umumiy tushunchalar. Ketma-ket yaqinlashish usuli. Fredgolm va Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasi.
    
15. 
    Fredgolm teoremalari.
    
16. 
    Kuchsiz maxsuslikka ega bo’lgan tenglamalar. Volterraning birinchi tur tenglamasi. Abelning integral tenglamasi.
    
17. 
    Singulyar integral tenglamalar. Ermit yadroli integral tenglamalar. Gilbert-Shmidt teoremasi va uning natijalari.
    
18. 
    Garmonik funksiyalarning asosiy xossalari. Garmonik funksiyalarning integral ifodasi. O’rta arifmetik haqidagi formulalar.
    
19. 
    Ekstremum printsipi va Dirixle masalasi yechimining yagonaligi. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining Grin funksiyasi.
    
20. 
    Shar uchun Dirixle masalasini yechish. Puasson formulasi.
    
21. 
    Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish. Puasson formulasidan kelib chiqadigan ayrim muhim natijalar. Liuvill va Garnak teoremalari.
    
22. 
    Hajm potensialining uzluksizligi va uning birinchi tartibli hosilasi. Hajm potensialining ikkinchi tartibli hosilasining mavjudligi. Puasson tenglamasi. Gauss formulasi.
    
23. 
    Ikkilangan va oddiy qatlam potensiali. Dirixle va Neyman masalalarini potensiallar yordamida yechish.