1-bosqich talabasi Sheripboyev Shaxriyorning Chiziqli algebra fanidan

Barcha minorlari nolga teng bolgan matritsa rangi 1ga teng.
3-misol. matritsa rangini aniqlang
C matritsa uchinchi tartibli kvadratik matritsa. Undan yagona eng yuqori 3-tartibli M₁ minor ajraladi. M₁ minorga mos 3- tartibli determinantni hisoblaymiz:
M ₁= 0 bo‘lgani uchun, C matritsa rangi 3 ga teng bo‘la olmaydi.
bo‘lgani uchun, rank (C) = 2.
Yuqorida misollardan ko’rganimizdek, ni minorlar ajratish asosida topish usuli minorlar ajratish usuli deb ataladi.
Matritsani quyidagi almashtirishlar elementar almashtirishlar deyiladi:

1. 
   faqat nollardan iborat satrni (ustunni) o‘chirish;
   
2. 
   ikkita satrning (ustunning) o‘rinlarini almashtirish;
   
3. 
   bir satr (ustun) ning barcha elementlarini biror ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, boshqa satr (ustun) ning mos elementlariga qoshish;
   
4. 
   satr (ustun) ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko‘paytirish.
   

4-misol.Matritsa ustida elementar almashtirishlarni bajaring.

Yechish.
Matritsani kanonik ko‘rinishga keltiramiz.
Buning uchun elementar almashtirishlarni bajaramiz:
- avval matritsaning 2-satrini (-1)ga ko‘paytiramiz va uni 1-satr bilan almashtiramiz, keyin 2-satrni 5-satr bilan, 1-satrni 4-satr bilan o‘rinlarini almashtiramiz, keyin 1-ustunning 1- elementidan boshqa elementlarini nolga aylantiramiz;
2-satr elementlariga (-2)ga ko‘paytirilgan 1- satrning mos elementlarini qo‘shamiz, va 3- satr elementlariga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-satrning mos elementlarini qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matrisaning 2- , 3-,4-,5- satr elementlarini mos ravishda ( -5), (-11), 2,5 ga bo‘lamiz;
keyin (-4) ga ko‘paytirilgan 2-satr elementlarini 1 satrning mos elementlaridn, 3-satrdan, 4-satrdan, 5-satrdan 2-satrnining mos elementlarini ayiramiz;
-hosil bo‘lgan matritsaning 3-ustuniga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-ustun mos elementlarini qoshamiz;
hosil bo‘lgan matritsaning 1- ustunini -3ga ko‘paytirib, 3-ustunning mos elementlariga qo‘shamiz.
- hosil bo‘lgan matritsaning 2 - ustunini 2ga ko‘paytirib, 3-ustunning mos elementlariga qo‘shamiz.
Bajarilgan elementar almashtirishlarni sxema tarzida keltiramiz:

~ ~ ~ ~ ~
~ ~
Matritsaga kelamiz. Uning rangi 2 ga teng. Demak, .
Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o‘zgarmaydi.
Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan va matritsalarga ekvivalent matritsalar deyiladi va ~ deb yoziladi. Diagonal elementlarining ayrimlari (yuqori satrlardagi) birga va ayrimlari nolga teng bo‘lgan matritsaga kanonik matritsa deyiladi. Kanonik matritsaning rangi uning diagonalida joylashgan birlar soniga teng bo‘ladi.
ni matritsani elementar almashtirishlar orqali kanonik matritsaga keltirib topish usuliga elementar almashtirishlar usuli deyiladi.
5 misol. Matritsaning rangini minorlar ajratish usuli bilan toping:



Ikkinchi tartibli minorlardan biri


Uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz:







Barcha uchinchi tartibli minorlar nolga teng. Demak ,
6-misol. Matritsaning rangini elementar almashtirishlar usuli bilan toping:

Matritsani kanonik ko‘rinishga keltiramiz.
Buning uchun elementar almashtirishlarni bajaramiz: avval matritsaning 1- va 4-satrlarining o‘rinlarini almashtiramiz,
keyin 2-satr elementlariga 1- satrning mos elementlarini qo‘shamiz va 3- satr elementlariga (-3)ga ko‘paytirilgan 1-satrning mos elementlarini qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matrisaning 2 ,3 va 4- satr elementlarini mos ravishda ( -11), 22 va 5 ga bo‘lamiz, keyin (-1) ga ko‘paytirilgan 2-satr elementlarini 3 va 4 -satrning mos elementlariga qo‘shamiz;
- hosil bo‘lgan matritsaning 2 ,3 va 4- ustun elementlariga mos ravishda 7, (-17) va (-3) ga ko‘paytirilgan 1- ustun elementlarini qo‘shamiz, keyin 3- ustun elementlariga 2 ga ko‘paytirilgan 2-ustun elementlarini qo‘shamiz.
Bajarilgan elementar almashtirishlarni sxema tarzida keltiramiz:

= = = =
= =
Demak,
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. - 6-е изд., стер. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических
университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.
3. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
4. Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов
технических вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
5. Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к
решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.