1. Chebishev tengsizligi. Markov tengsizligi. Chebishev teoremasi

Teorema(Bernulli). Agar A hodisaning bitta tajribada ro‘y berishi ehtimolligi p bo‘lib, n ta bog‘liqsiz tajribada bu hodisa marta ro‘y bersa, u holda uchun

(10)

munosabat o‘rinli.

Isboti. indikator tasodifiy miqdorlarni quyidagicha kiritamiz: agar i-tajribada A hodisa ro‘y bersa, ; agar ro‘y bermasa . U holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: . tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ixtiyoriy i da: bo‘ladi. tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ga, dispersiyasi . tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va ularning dispersiyalari chegaralangan, U holda Chebishev teoremasiga asosan: va ;

A.Kolmogorov 1926 yilda bogliqsiz tasodfiy mirdorlar ketma-ketligining katta sonlar qonuniga bo`ysunishi uchun zarur va yetarli sartni ko`rsatgan.

Keyinchalik Chebishev metodidan foydalanib ixtiyoriy {tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun quyidagi teorema isbotlandi.

Teorema. Ixtiyoriy { tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunishi uchun n→

M →0 (11)

munosabatning o`rinli bo`lishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Faraz qilaylik, (11) shart bajarilisin.

(x)=P{U holda

P{≤

tengsizlikka ega bo`lamiz va bu tengsizlikdan katta sonlar qonuni o`rinliligi kelib chiqadi.

Endi zarurligini ko`rsatamiz, katta sonlar qonuni o`rinli bo`lsin. U holda

P{≥ = ≥ , bundan

0≤ ≤ P{.

Bu tengsizlikning o`ng tomonini n ni tanlash orqali kichik qilish mumkin,bu esa (11) munosabat o`rinlilirgini ko`rsatadi.

Endi Xinchin teoremasini keltiramiz.

Teorema (Xinchin teoremasi). Agar bog`liqsiz { tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bir xil taqsimlangan bo`lib, matematik kutilmalari mavjud bo`lsa, bu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o`rinli bo`ladi,ya`ni M=a bo`lganda

Bu teorema Markov tomonidan tavsiya qilingan ”qirqib olish” usulidan foydalanib isbotlanadi.

Takrorlash uchun savollar.

1. Katta sonlar qonuninig mazmunini tushuntirib bering.

2. Qachon tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunadi deyiladi ?

3. Chevisheyev tengsizligida tasodifiy miqdorga qanday shart qo`yiladi ?

4.Chebishev tengsizligini diskret hol uchun isbotlang.

5.Chebishev tengsizligini uzluksiz hol uchun isbotlang.

6. Chebisheyev teoremasida tasodifiy miqdorlar ketma-ketligidan qanday shartlar talab qilinadi ?

7. Chebisheyev teoremasini isbotlashda qanday tasdiqlardan foydalaniladi ?

8. Chebishev teoremasini isbotlang.

9. Bernulli teoremasidagi /n nimani bildiradi ?

10. Bernulli teoremasini isbotlang.