1. Chiziqli operatorlarning xos sonlari va xos vektorlari. Xarakteristik ko’phad

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti Samarqand filiali

R e f e r a t

Mavzu:___________________________________________

Bajardi:_______________________
Tekshirdi:______________________

Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar
1. Chiziqli operatorlarning xos sonlari va xos vektorlari. Xarakteristik ko’phad

Kvadrat matrisani qaraymiz

A=
Bu matrisaning bosh dioganali elementlarini , elementlar bilan almashtirib, boshqa matrisa tuzamiz, - ixtiyoriy haqiqiy yoki kompleks son
A-
bu matrisaning determinanti ga nisbatan n - tartibli algebraik ko’phaddan iborat bo’lib , A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi, E - birlik matrisa.
|A- E|= ∆( )


n-tartibli ∆( ) = 0 algebraik tenglama esa, A matrisaning xarakteristik tenglamasi, uning ildizlari esa A matrisaning xos sonlari (qiymatlari) deyiladi. Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra xarakteristik tenglama kamida bitta haqiqiy yoki kompleks ildizga ega bo’ladi.
1-teorema. O’xshash matrisalar bir xil xarakteristik ko’phadlarga, binobarin bir xil xarakteristik ildizlarga ega.
Haqiqiy R yoki kompleks C sonlar maydonida berilgan A matrisani n- o’chamli fazoda chiziqli operator deb ham qarash munkin.
1-ta’rif. Agar shunday son va nolmas x vektor (element) topilib, Ax = tenglik bajarilsa, u holda son A (matrisaning) chiziqli operatorning xos soni, x esa unga mos xos vektor deyiladi.
Ta’rifdan kelib chiqadiki x xos vektor vektorga kollinar ekan. A operator xos vektorlarining muhim xossalarini keltiramiz :

1. 
   Har bir xos vektorga yagona xos son mos keladi.
   
2. 
   Agar A operatorning xos songa mos xos vektorlari bo’lsa, u holda vektor ham shu xos songa mos xos vektor bo’ladi.
   
3. 
   Agar x , A operatorning xos songa mos xos vektori bo’lsa, u holda ixtiyoriy c o’zgarmas uchun cx kollinar vektor ham A operatorning xos vektori bo’ladi.
   

2. 
   Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti
   

2-teorema. Agar e₁ ,…, e_n bazisning barcha vektorlari A chiziqli operatorlarning xos vektorlari bo’lsa, u hold ava faqat shu holda A chiziqli operator bu bazisda diognal matrisa orqali beriladi.
3-teorema. A chiziqli operatorning turli xos qiymatlariga taalluqli bo’lgan b₁ ,…, b_n xos vektorlari chiziqli erkli sistemani tashkil etadi.
1-misol. Matrisaning xos sonlari va xos vektorlarini toping.
A = .
Yechish: A matrisaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz
det(A )= = 0.
Determinantni hisoblab, quyidagi tenglamani hosil qilamiz bu tenglamani yechib, matrisaning xos sonlarini topamiz: 1; Endi A matrisa(operator)ning bu xos sonlarga mos xos vektorlarni topamiz.

1. 
   ikki karrali xos songa mos xos vektorni topamiz, buning uchun (A birjinsli tenglamaar sistemasini =1 deb yechib,
   

xos vektorning koortinatalari uchun quyidagi bog’anishni topamiz 0
bundan
deb olsak, xos vektorning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’adi.
X =
bunda lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar, birjinsli sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan iborat .
2. 1 xos songa mos xos vektorni topamiz. (A da deb quyidagi birjinsli sistemani hosil qilamiz

Bu sistemani yechib, xos vektorning koordinatalari uchun quyidagi bog’lanishlarni olamiz

erkli o’zgarmasni 6C deb tanlasak, xos vektorning umumiy ko’rinishi qyuidagicha bo’ladi

bunda, C ixtiyoriy o’zgarmas son.