1. Chiziqli tenglamalar. Parametrik usulda berilgan kasr ratsional tenglamalarni yechish

Noma’lum absolyut miqdor belgisi ostida qatnashgan tenglamalarni yechish.
Absolyut miqdor ta’rifiga ko’ra x sonining absolyut miqdori quyidagicha aniqlanadi:

Masalan. |5| = 5, |-2| = 2; ...

T a ‘ r i f. Agar tenglamadagi noma’lum soni absolyut qiymati belgisi bilan kelsa, bunday tenglama absolyut miqdor belgisi ostidagi tenglama deyiladi.

Masalan, |3x – 1| = 4. |2x – 1| = |5x – 7|, |5x – 7| = 13

Bu ko’rinishdagi tenglamalarni quyidagi usullar bilan yechiladi.

1-misol. |5x – 7| = 13.

Ye ch i sh. 1 - u s u l.

1) 2)

T ye k sh i r i sh. 20–7=13, 13=13. Demak, x=4, x=–6/5 sonlari berilgan tenglamaning ildizlari bo’ladi.

2 - u s u l. (Grafik usuli): y=5x–7 funksiya grafigini chizamiz, ularning kesishish nuqtasining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi (40-chizma).

X	0	1	2	3	4	5	6	-1	-2	-3	-4
Y	7	2	3	8	13	18	23	12	17	22	27

Buning uchun y=|5x–7| funksiyaning grafigini yasaymiz. Bu grafikning x o’qidan yuqorida yotgan qismini o’zgarishsiz qoldiramiz. Uning uchun 5x–7>0, shu sababli |5x–7|=5x–7 bo’ladi. Bu grafikning absissalar o’qidan pastga yetgan qismiga shu o’qqa nisbatan simmetrik akslantiramiz. Bu holda 5x–7<0 bo’ladi, ya’ni |5x–7|=–(5x–7). Natijada y=5x–7 funksiya grafigi y=13 chiziq bilan ikki nuqtada kesishadi, kesishish nuqtalarning absissalari x=4 va x= nuqtalardan iborat bo’ladi, ana shu nuqtalar |5x–7|=13 tenglamaning yechimi bo’ladi.

3 - u s u l. (oraliqlar metodi). Absolyut miqdor belgisi ostidagi |5x–7| ifoda x= da nolga aylanadi. Sonlar to’g’ri chizig’ida nuqtani belgilab, bu nuqtadan chapda va o’ngda olingan qiymatlarga ko’ra |5x–7| ifodani absolyut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:

Bularga ko’ra tenglamani quyidagi ikki ko’rinishda yozish mumkin:

1) 2)



2 - m i s o l. |7x – 1| = 21 – 9x.

Yechish.

1) 2)

T ye k sh i r i sh.

Demak, x = soni berilgan tenglama yechimi ekan.

3-misol. |x–1|+|x+1|=2 tenglama yechilsin. Bu tenglamada x–1=0 va x+1=0, demak, ular x=1 va x=–1 yechimlarga ega bo’ladi. Sonlar to’g’ri chizig’ida x=1 va x=–1 nuqtalarni belgilaymiz, bu holda sonlar to’g’ri chizig’i uchta oraliqqa ajraladi. Birinchi oraliq (-, -1), ikkinchi oraliq [-1,1], uchinchi oraliq (1,) dan iboratdir. |x–1| va |x+1| ifodalarning har birini hosil qilingan oraliqlarda absolyut miqdor belgisiz quyidagicha yozish mumkin:

1) agar x–1 bo’lsa, |x–1|+|x+1|=2 tenglama –x+1–x–1=2 bo’ladi, bundan –2x=2 yoki x=–1 yechimga ega bo’lamiz;

2) agar –1x1 bo’lsa, |x–1|+|x+1|=2 tenglama –x+1+x+1=2 bo’ladi, bundan 2x=2 yoki x=1 bo’ladi. Demak, x=–1 va x=1 yechimlarga ega bo’ladi.

4 - m i s o l. 2x²–5x–3 |x–2|=0 tenglama yechilsin.

1) agar x<2 bo’lsa, 2x²–5x–3|x–2| tenglama 2x²–5x+3x–6=0 yoki x²–x–3=0 ko’rinishni oladi, uni yechsak ya’ni va yechimlar hosil qilinadi.

Bunda: yechim qaralayotgan sohada yetmaydi, shuning uchun (-, 2) oraliq uchun yechim bo’ladi;

2) agar x2 bo’lsa, berilgan tenglamadan 2x²–5x–3x+6=0 hosil bo’ladi yoki ushbu x²–4x+3=0 ko’rinishni oladi, uni yechsak, x₁=1 va x₂=3 yechimlarga ega bo’lamiz. Bundagi x₁=1 yechim qaralayotgan oraliqda yotmaydi, shuning uchun (2,) oraliq uchun yechim x₂=3 bo’ladi. Demak. 2x²–5x–3|x–2|=0 tenglamaning yechimi bo’ladi.