1. Даражали қаторлар, яқинлашиш соҳаси, Коши-Адамар формуласи. Даражали қаторларнинг функционал хоссалари. Тейлор қатори

ТЕКИС ЯКИНЛАШУВЧИ ДАРАЖАЛИ КАТОР ЙИГИНДИСИНИНГ УЗЛУКСИЗЛИГИ ИСБОТИ
Reja:
1. Даражали қаторлар, яқинлашиш соҳаси, Коши-Адамар формуласи.
2. Даражали қаторларнинг функционал хоссалари.
3. Тейлор қатори.
4. Элементар функцияларни даражали қаторларга ёйиш.

Darajali qatorlar
9.5.1. Ushbu

ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi. Bu yerda <sub> </sub> o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Xususiy holda, _{ } ushbu darajali qatorga ega bo`lamiz:

A b e l t e o r e m a s i. a) Agar

darajali qator birorta _{ } nuqtada yaqinlashsa, u holda u _{ } ning _{ } tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatida absolyut yaqinlashadi;

1. 
   agar
   

darajali qator birorta _{ } qiymatda uzoqlashsa, u holda u _{ } ning _{ }shartni qanoatlantiruvchi istalgan qiymatlarida uzoqlashadi.

darajali qator uchun shunday _{ } oraliq mavjudki, u mazkur oraliq ichida absolyut yaqinlashib, undan tashqarida esa uzoqlashadi; bu oraliq qatorning yaqinlashish oralig`i deyiladi. <sub> </sub>soni yaqinlashish radiusi deyiladi, u xususiy hollarda 0 yoki <sub> </sub> ga teng bo`lishi ham mumkin. Yaqinlashish oralig`ining chetki nuqtalari <sub> </sub> da darajali qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi masalasi alohida hal qilinadi.
9.5.2. Agar qatorning barcha <sub> </sub> koeffitsientlari nolga teng bo`lmasa,

darajali qatorning yaqinlashish radiusi ushbu formula orqali aniqlanadi:

yoki

Agar qator faqat juft yoki toq darajalarni o`z ichiga olsa yoki darajalari karrali bo`lsa, va h.k., u holda yaqinlashish oralig`I bevosita Dalamber yoki Koshi alomatlaridan foydalanib topiladi.

qator uchun yaqinlashish radiusi quyidagicha topiladi:

yoki

1 – m i s o l. Quyidagi qatorning yaqinlashishini tekshiring:
_{ }
Е ч и ш. Бу ерда _{ }қаторларнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R=_{ }
Д



емак, берилган даражали қатор (-1,1) оралиқда абсолют яқинлашади, (-∞;-1) _{ } (1,+∞) да эса узоқлашади. Берилган қаторнинг бу оралиқнинг чекка нуқталарида яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигини аниқлаймиз. х = 1 бўлганда берилган қаторкўринишидаги гармоник узоқлашувчи қатор бўлади.
х =-1 да эса қаторни хосил қиламиз, бу қaтор яқинлашади, чунки у Лейбниц аломати шартларини қаноатлантиради.
Шундай қилиб, берилган даражали қаторнинг яқинлашиш сохаси _{ }.
2 – м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашишини текширинг.
Е ч и ш. _{ } шунинг учун яқинлашиш радиусини
R=_{ }
формуладан топамиз. Демак, берилган қаторнинг яқинлашиш оралиғи ( -_{ }, _{ } )бўлади. Қаторнинг яқинлашишни оралиқнинг чекка нуқталарида текширамиз. Агар х = _{ } бўлса, қатор 1+1+1+... кўринишга эга бўлиб, бу қатор ўзоқлашади. Агар х= - _{ } бўлса, қатор 1-1+1-... кўринишида бўлиб, у ҳам узоқлашади.
Шундай қилиб, берилган қаторнинг яқинлашиш сохаси ( -_{ }, _{ } ).
3 – м и с о л. Қуйидаги

қаторнинг яқинлашиш соҳасини топинг.
Е ч и ш. _{ }.
Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R=_{ }
Демак, берилган қатор бутун сон ўқида яқинлашади.
9.5.3.Агар умумий кўринишдаги

қатор берилган бўлса, унинг яқинлашиш радиуси R олдингиформулалар билан аниқланаверади, яқинлашиш оралиғи эса маркази _{ }нуқтада бўлган _{ }оралиқ бўлади.
4 – м и с о л. Ушбу


қаторнинг яқинлашиш сохасини топинг.
Е ч и ш. Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R=_{ }

Демак, қатор (0;4) оралиқда абсолют яқинлашади.

х

=0 дақаторни хосил қиламиз, у узоқлашади, чунки унинг хадлари узоқлашувчи гармоник қаторнинг хадларидан катта _{ }.
х =4 да қаторни хосил қиламиз, у Лейбниц аломатига кўра яқинлашади.
Шундай қилиб берилган қаторнинг яқинлашиш сохаси (0;4].
9.5.4. Даражали қаторларнинг хоссалари:
а) яқинлашиш оралиғининг ичида ётувчи ҳар қандай [a, b] кесмада даражали қатор текис яқинлашади. Унинг йиғиндиси яқинлашиш оралиғида узлуксиз функция бўлади;
б) даражали қаторни уларнинг яқинлашиш оралиғида хадма-хад интеграллаш ва дифференциаллаш мумкин.
5 – м и с ол. Ушбу

қаторнинг йиғиндисини топинг.
Е ч и ш. Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R=_{ }
Демак, (-1.1) оралиқда қатор яқинлашади, шунинг учун уни яқинлашиш
оралиғида ҳадма-ҳад дифференциаллаш мумкин. Берилган қаторнинг йиғиндисини S(x)орқали белгиласак,
S'(x)=1+x²+x⁴+…+x^2n-2+…
Хосил қилинган қатор - геометрик прогрессия ҳадлари йиғиндиси ва у ( -1, 1 ) оралиқда яқинлашади, унинг йиғиндиси:
S'(x)=_{ }
Хосилалардан тузилган қаторни интеграллаб, берилган қаторнинг йиғиндисини топамиз:

5 – дарсхона топшириғи

1. 
   Қуйидаги даражали қаторларнинг яқинлашиш сохасини топинг:
   

Ж: а) -∞<х<+∞; б) 1<х<3; в) х=0; г) 1<х<2; д) х=0; е) -е<х<е; ж) _{ }; з) -1<х<1.

2. 
   Қатор йиғиндисини топинг.
   

Ж: а) _{ }, _{ } б) –ln(1-x), (-1_{ }в ) arctgx, _{ }

5 – мустақил иш

1. 
   Даражали қаторнинг яқинлашиш сохасини топинг.
   

Ж: а)2_{ }; б) 2 < х < 4; в) -е<х<е; г)-∞<х<+∞;

2. 
   Қатор йиғиндисини топинг:
   

Ж: а) _{ }, _{ }б) _{ }, _{ }