1. Электромагнитная индукция

7. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Ψ. При изменениях I изменяется также и Ψ, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био - Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Ψ через контур пропорциональны друг другу:

Ψ = LI (7.1)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость Ψ от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость μ среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Н, т.е. в отсутствие ферромагнетиков. В противном случае μ является сложной функцией от I и, поскольку В=μ₀μH, зависимость Ψ от I также будет довольно сложной. Однако соотношение (7.1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность L функцией от I. При неизменной силе тока I полный поток Ψ может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.
Из сказанного следует, что индуктивность L зависит от геометрии контура (т.е. его формы и размеров), а также от магнитных свойств (от μ) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.
За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает сцепленный с ним полный поток Ψ, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).
В гауссовой системе индуктивность имеет размерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром. Индуктивностью в 1 см обладает такой контур, с которым при силе тока в 1 СГСМ - единицу (т.е. 10 А) сцеплен поток, равный 1 Мкс (10^-8Вб).
Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого равна B = μ₀μnI. Поток через каждый из витков равен Ф = BS, а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом,

Ψ = NФ = nlBS = μ₀μn²lSI, (7.2)

где l - длина соленоида (которая предполагается очень большой), S - площадь поперечного сечения, n - число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N).

Сопоставление формул (7.1) и (7.2) дает для индуктивности очень длинного соленоида выражение
L = μ₀μn²lS = μ₀μn²V, (7.3)

где V=lS - объем соленоида.

Из (7.3) следует, что размерность равна размерности индуктивности, деленной на размерность длины. В соответствии с этим μ₀ измеряется в генри на метр.
При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции ε_s равная

ε_s = - .

Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э.д.с. самоиндукции имеет вид

ε_s = . (7.4)

Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток бывает направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. В рассматриваемом случае причиной, вызывающей ε_s, является изменение силы тока в цепи. Примем в качестве положительного направление обхода по часовой стрелке. При этом условии сила тока будет положительной, если ток течет в цепи по часовой стрелке, и отрицательной, если ток течет против часовой стрелки. Аналогично ε_s будет положительной, если она действует в направлении по часовой стрелке, и отрицательной, если она действует в направлении против часовой стрелки.

Производная dI/dt положительна в двух случаях: либо при возрастании положительного тока, либо при убывании по модулю отрицательного тока. Из (7.4) следует, что в этих случаях ε_s<0. Это означает, что э.д.с. самоиндукции направлена против часовой стрелки и, следовательно, противится указанным изменениям тока (нарастанию положительного либо убыванию отрицательного тока).
Производная dI/dt отрицательна также в двух случаях: либо при убывании положительного тока, либо при увеличении по модулю отрицательного тока. В этих случаях ε_s>0 и, следовательно, противится изменениям тока (убыванию положительного либо возрастанию по модулю отрицательного тока).
Соотношение (7.4) дает возможность определить индуктивность как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого э.д.с. самоиндукции. Однако такое определение правомерно лишь в случае, когда L=const. В присутствии ферромагнетиков L недеформируемого контура будет функцией от I (через Н); следовательно, dL/dt можно записать как (dL/dl) (dl/dt). Произведя такую подстановку в формуле (7.3), получим

ε_s = . (7.5)

Отсюда видно, что при наличии ферромагнетиков коэффициент пропорциональности между dI/dt и ε_s отнюдь не равен L.

Примеры проявления самоиндукции. Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность цепи. Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью. Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создает огромную э. д. с. самоиндукции. Это часто приводит к образованию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет.