1. Eng katta umumiy bo`luvchi. Evklid algoritmining ba`zi bir tadbiqlari

2-misol.
f(x) = x⁵+3x⁴ +x³+x²+3x+1 va g(x) = x⁴+2x³+x+2
ko`phadlar uchun f(x)u(x)+g(x)v(x) = d(x)
tenglikni qanoatlantiruvchi u(x) va v(x) ko`phadlarni toping. Bunda d(x)- f(x) va q(x) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi.
Yechish:
Bu ko`phadlarga Еvklid algorimini qo`llaymiz, lеkin bu еrda bo`lishda bo`linmalarni o`zgarishiga yo`l qo`yib bo`lmaydi , chunki bu bo`linmalar u(x) va v(x) ni topishda ishlatiladi.f(x) ni g(x) ga bo`lamiz;
x⁵+3x⁴+x³+x²+3x+1 x⁴+2x³+x+2
^-x⁵+2x⁴ +x²+2x  x+1
x⁴+x³ +x+1
^-x⁴+2x³ +x+2
-x³ -1
Demak.
f(x)=g(x)(x+1)-(x³+1)
Endi g(x) ni r₁(x) = -x³-1 ga bo`lamiz:
x<sup>4</sup>+2x<sup>3</sup>+x +2  -x<sup>3</sup>-1
<sup>-</sup> x<sup>4</sup> +x  -x-2
2x<sup>3</sup> +2
<sup>-</sup> 2х<sup>3</sup> +2
0
Shunday qilib,
g(x) = (-x<sup>3</sup>-1)(-x-2) bundan (f(x), g(x)) =x<sup>3</sup>+1 (*) tenglikdan
f(x)(-1)+g(x)(x+1) = x<sup>3</sup>+1 demak u(x) = -1 v(x) = x+1 d(x) = x<sup>3</sup>+1.
M a sh I q l a r.
1.Ko`phadlarni ko`paytiring.

2.Qoldiqli bo`lishni bajaring.
ni ga.
3.Qanday shartda ko`phad ko`phadga bo`linadi.
4.Qanday shartda ko`phad ko`rinishdagi ko`phadga bo`linadi.
5.Ko`phadni soddalashtiring:
6.Qoldiqli bo`lishni bajaring.
ni ga,
ni ga,
ni ga
ni ga
7. Gorner sxemasidan foydalanib ni hisoblang.

7. Gorner sxemasidan foydalanib  ko`phadni ni darajalariga yoying.

8. Gorner sxemasidan foydalanib soda kasrlarga yoying.

9. ko`phadni va uni hosilasini dagi qiymatini toping.

10.Quyidagi sonlar ko`phadni necha karrali ildizi bo`lishini aniqlang.
ko`phad uchun 2 soni
ko`phad uchun 2 soni
11. а – koeffisientni shunday aniqlangki ko`phadni -1 soni kamida ikki karrali ildizi bo`lsin.
12. А va В ni shunday aniqlangki uchhad (x-1)² ga bo`linsin.
13. А va В ni shunday aniqlangki  ko`phad (х-1)<sup>2</sup> gabo`linsin.
14. Quyidagi ko`phadlarni 1 soni uch karrali ildizi bo`lishini isbotlang.

15. Ushbu ko`phad (х-1)<sup>5</sup> ga bo`linishini va (х-1)⁶ bo`linmasligini isbotlang.

16. ko`phad (х-1)<sup>к+1</sup> ga bo`linishi uchun quyidagi shartlar zarur va etarli ekanligini isbotlang.

17. а quyidagi ko`phadning necha karrali ildizi bo`ladi ?
bunda - ko`phad.
18. ko`phad koeffisientlari uchun shunday shart topingkiu noldan farqli ikki karrali ildizga ega bo`lsin.
19.. ko`phad koeffisientlari uchun shunday shart topingki, u noldan farqli uch karrali ildizga ega bo`lsin.
20. ko`phadni noldan farqli ikki karralidan yuqori bo`lgan ildizga ega bo`la olmasligini isbotlang.